Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Аксиоматическое определение вероятности



Пусть Ω – множество всех возможных исходов некоторого опыта (эксперимента). Согласно аксиоматическому определению вероятности, каждому событию А (А – подмножество множества Ω) ставится в соответствии некоторое число Р(А), называемое вероятностью события А, причём так, что выполняются следующие три условия (аксиомы вероятностей):

P (A) ≥ 0; (3.1)

P (Ω) = 1; (3.2)

аксиома сложения: , если , (3.3)

т.е. вероятность суммы попарно-несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Из аксиом (3.1)-(3.3) вытекают основные свойства вероятности P () = 0, т.е. вероятность невозможного события равна нулю,

2 P (A) + P () = 1.

3. 0 ≤ Р(А) ≤ 1 для любого события А.

4. Р(А)Р(В), если А Í В.

5. , если и

Если множество Ω состоит из п равновозможных элементарных событий, (т.е. ), то вероятность события А определяется по формуле классического определения вероятности

где m – число случаев (элементов) ω i, принадлежащих множеству А (число благоприятствующих событию А исходов), п – число элементов множества Ω (число всех исходов опыта).

Пример. В урне содержится 5 белых и 4 черных шара, различающихся только цветом.

1) Вынимается наудачу один шар. Найти вероятность того, что он белый.

2) Вынимаются наудачу два шара. Найти вероятность того, что: а) оба шара белые; б) хотя бы один из них черный.

Решение. 1) Перенумеруем шары. Пространство элементарных событий можно записать в виде Ω = {Б1, Б2, Б3, Б4, Б5, Ч1, Ч2, Ч3, Ч4}. Пусть событие А = {появление белого шара}, тогда А = {Б1, Б2, Б3, Б4, Б5}.

Так как все элементарные исходы равновозможны, то по классическому определению вероятности .

2) При вынимании двух шаров возможны такие исходы: (Б1, Ч1), (Б2, Б3,), (Б3, Б2), (Ч4, Б5) и т.д. Число всех случаев равно .

а) Исходами, благоприятствующими наступлению события В = {по­явление двух белых шаров}, являются (Б1, Б2), (Б1, Б3), (Б3, Б5), (Б3, Б1) и т.д. Число таких случаев равно . Поэтому .

б) Исходами, благоприятствующими наступлению события С = {появление хотя бы одного черного шара}, являются (Б1, Ч1), (Б1, Ч2), (Б1, Ч3), (Ч3, Б1), (Ч1, Ч2), (Ч3, Ч4) и т.д. Число таких случаев равно (в 20 случаях из 72 появятся два белых шара (см. пункт а), поэтому в остальных случаях хотя бы один из пары шаров будет черным. Отсюда .Этот же результат можно получить иначе, т.к. , то .█





Дата публикования: 2014-11-26; Прочитано: 522 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.006 с)...