Формула Бернулли

Пусть производятся п независимых испытаний, в каждом из которых может произойти некоторое событие А (по традиции такой исход опыта называют успехом) с одной и той же вероятностью Р(А) = р или произойти противоположное событие (такой исход называют неудачей) с вероятностью P () = q = 1 – p (такого рода схема испытаний называется схемой Бернулли). Тогда вероятность того, что событие А наступит ровно m раз, находится по формуле Бернулли

, m = 0, 1, 2,…, п.

Отсюда, в частности, следует, что вероятность того, что в п испытаниях, удовлетворяющих схеме Бернулли, событие А наступит:

а) менее т раз – равна P_n (0) + P_n (1) +…+ P_n (m – 1);

б) более т раз – равна P_n (m + 1) + P_n (m + 2) +…+ P_n (n);

в) хотя бы один раз– равна P_n (m ≥1) = 1 – P_n (0) = 1 – qⁿ;

г) не менее m₁ раз и не более m₂ раз – равна

.

Число m₀ (0 ≤ m₀ ≤ п) называется наивероятнейшим числом наступлений события А (или наиболее вероятным числом успехов) в схеме Бернулли, если P_n (m₀) ≥ P_n (m) для всех m = 0, 1, 2,… ,п. Если вероятность р и q отличны от нуля; то число m₀ определятся из двойного неравенства

np – q ≤ m₀ ≤ np +p

Если в каждом из п независимых испытаний вероятность наступления события А равна p_i (числа p_i, вообще говоря, разные), то вероятность P_n (m) того, что в этой серии испытаний событие А наступит ровно т раз, равна коэффициенту при m -й степени (т. е. при z^m) многочлена

Функция при этом называется производящей функцией.