Частные производные функции двух переменных. Полный дифференциал функции нескольких переменных

Пусть функция является непрерывной функцией своих переменных в некоторой области . Если в этой области одну из переменных считать постоянной, то функция станет функцией одной переменной. Тогда такую функцию можно дифференцировать по обычным правилам. Таким путем мы приходим, с учетом сделанного предположения, к понятию частной производной.

Определение. Частной производной от функции по независимой переменной x называется производная

найденная при постоянном значении переменной y.

Частной производной от функции по независимой переменной y называется производная

Которая найдена при постоянном значении переменной x.

Частные производные функции обозначаются следующим образом:

Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.

Пусть в области задана функция двух переменных , которая определена в точке в некоторой ее окрестности и пусть точка принадлежит этой окрестности. Полнымприращением функции в точке называется разность

Если представимо в виде

(4)

где А и В постоянные, не зависящие от , и есть бесконечно малые при , то функция называется дифференцируемой в точке

Определение. Полным дифференциалом функции называется главная часть полного приращения , линейная относительно приращений аргументов , то есть

Покажем, что полный дифференциал функции вычисляется по формуле

Действительно, так как в (4) - произвольные бесконечно малые, то можно взять , тогда и для полного приращения будем иметь

Разделим все выражение на и перейдем к пределу при Тогда будем иметь

Так как в зависимости от знака , то Аналогичным образом получаем, что

Учитывая, что для вычисления полного дифференциала функции двух переменных, будем иметь формулу