Необходимые условия экстремума

Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю:

Действительно, пусть функция имеет в точке экстремум. Зафиксируем одну из переменных. Положим, например, у=у₀. Тогда получим функцию одной переменной, которая имеет экстремум при . Следовательно, согласно необходимому условию экстремума функции одной переменной φ'(х₀) = 0, т. е. .

Аналогично можно показать, что .

Геометрически равенства и означают, что в точке экстремума функции касательная плоскость к поверхности, изображающей функцию ƒ(х,у), параллельна плоскости О ху, т. к. уравнение касательной плоскости есть z = z₀.

Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками. Стационарные точки и точки, в которых производные не существуют и которые лежат внутри области определения функции, называются критическими точками. Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Достаточное условие экстремума.

Пусть в стационарной точке и в некоторой ее окрестности функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке значения частных производных второго порядка.

Обозначим

Тогда:

1. если Δ > 0, то функция в точке имеет экстремум: максимум, если А < 0 (С < 0); минимум, если А > 0 (C > 0);

2. если Δ < 0, то функция в точке экстремума не имеет.

В случае Δ = 0 экстремум в точке может быть, может не быть.

Функция , непрерывная в некоторой ограниченной замкнутой области D, обязательно имеет в этой области наибольшее и наименьшее значения. Эти значения достигаются ею или в точках экстремума, лежащих внутри области D, или в точках, лежащих на границе области.

Чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции в ограниченной замкнутой области D, где она непрерывна, можно руководствоваться следующим правилом:

1. Найти критические точки, лежащие внутри области D, и вычислить значения функции в этих точках (не проводя исследование, будет ли в них экстремум функции и какого вида).

2. Найти наибольшее (наименьшее) значение функции на границе области D.

3. Сравнить полученные значения функции: самое большое (меньшее) из них будет наибольшим (наименьшим) значением функции во всей области D.

Старший преподаватель Невердовский В.Г.