Определение производной

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки . Приращением этой функции в точке называется функция аргумента :

Разностное отношение также является функцией .

Производной функции y = f(x) в точке называется предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента , когда . Производная функции y = f(x) в точке обозначается или . Будем иметь

Операция нахождения производной называется дифференцированием. Всякая функция, имеющая производную в точке , называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке интервала (а,b), называется дифференцируемой в этом интервале. Имеет место теорема: Всякая функция, дифференцируемая на интервале (a,b), непрерывна на этом интервале. Обратное утверждение не всегда верно (пример: y = |x| в точке х =0).

2. Физический и геометрический смыслы производной. Уравнение касательной и нормали к графику функции y = f(x).

Производная есть скорость изменения функции y = f(x). в точке (другими словами, скорость изменения зависимой переменной у по отношению к изменению независимой переменной х в точке ). В частности, если х – время, y = f(x) – координата точки, движущейся по прямой, в момент х, то - мгновенная скорость точки в момент времени .

Рассмотрим теперь график функции y = f(x)

Точки M и N имеют следующие координаты: ). Угол между секущей МN обозначим j(D х). Касательной к графику функ- ции y= f(x) в точке М называется предельное положение секущей MN, когда точка N стремится по	y   N M a O . . x
графику в точку М. При этом угол j будет стремиться к углу a. Тогда

. Но

Таким образом, производная функции y=f(x) в точке есть угловой коэффициент касательной, проходящей через точку М графика функции y=f(x). Уравнение касательной в этом случае имеет вид:

Нормалью к графику функции называется прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной. Учитывая условие перпендикулярности двух прямых, уравнение нормали будет иметь вид