![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки . Приращением этой функции в точке
называется функция аргумента
:
Разностное отношение также является функцией
.
Производной функции y = f(x) в точке называется предел (если он существует) отношения приращения функции
к приращению аргумента
, когда
. Производная функции y = f(x) в точке
обозначается
или
. Будем иметь
Операция нахождения производной называется дифференцированием. Всякая функция, имеющая производную в точке , называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке интервала (а,b), называется дифференцируемой в этом интервале. Имеет место теорема: Всякая функция, дифференцируемая на интервале (a,b), непрерывна на этом интервале. Обратное утверждение не всегда верно (пример: y = |x| в точке х =0).
2. Физический и геометрический смыслы производной. Уравнение касательной и нормали к графику функции y = f(x).
Производная есть скорость изменения функции y = f(x). в точке
(другими словами, скорость изменения зависимой переменной у по отношению к изменению независимой переменной х в точке
). В частности, если х – время, y = f(x) – координата точки, движущейся по прямой, в момент х, то
- мгновенная скорость точки в момент времени
.
Рассмотрим теперь график функции y = f(x)
Точки M и N имеют следующие координаты: ![]() | y
![]() ![]() ![]() ![]() | |
графику в точку М. При этом угол j будет стремиться к углу a. Тогда | ||
. Но
Таким образом, производная функции y=f(x) в точке есть угловой коэффициент касательной, проходящей через точку М графика функции y=f(x). Уравнение касательной в этом случае имеет вид:
Нормалью к графику функции называется прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной. Учитывая условие перпендикулярности двух прямых, уравнение нормали будет иметь вид
Дата публикования: 2014-11-26; Прочитано: 255 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!