Правила дифференцирования. 1) Если функции и дифференцируемы в точке , то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии

1) Если функции и дифференцируемы в точке , то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии ) также дифференцируемы в точке , причем справедливы равенства:

2) Производная сложной функции.

Если функция дифференцируема в точке , а функция y = f(u) дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке , и справедлива формула

3) Производная обратной функции.

Пусть задана функция y=f(x). Решив это уравнение относительно х, получим х как функцию от у: Эта функция является обратной для функции y=f(x) Установим связь между производными этих двух функций.

Условием существования обратной функции является строгая монотонность и непрерывность данной функции.

Если функция y=f(x) дифференцируема в (a,b), имеет непрерывную обратную функцию x=j(y) и то тоже существует, и справедлива формула

4) Производная функции, заданной параметрически.

Функция y=f(x) называется заданной параметрически, если система уравнений определяет у как функцию от х.

Если функция y=f(x) задана параметрически , и функции дифференцируемы, причем то производная существует и находится по формуле

5) Производная функции, заданной неявно.

Пусть соотношение F(x,y)= 0 определяет функцию y=f(x). Для нахождения производной функции f(x), задаваемой с помощью соотношения F(x,y)= 0 (неявно заданной) нужно:

1. Найти производные от обеих частей соотношения F(x,y)= 0 по х, считая y функцией от х (применяя правило дифференцирования сложной функции).

2. Полученное уравнение разрешить относительно у’.

Пример. Найти производную функции, заданной неявно.

Решение. Дифференцируем обе части равенства по х, считая у функцией от х.

Полученное алгебраическое уравнение решаем относительно у ’.

Таблица производных основных элементарных функций.

у		у
1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.