Асимптоты графика функции

При исследовании функции необходимо установить ее поведение при удалении текущей точки графика функции от начала координат. В некоторых случаях это можно сделать с помощью прямой, к которой неограниченно приближается текущая точка графика функции при удалении ее от начала координат.

Асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, расстояние от которой до текущей точки графика функции стремится к нулю при неограниченном удалении ее от начала координат.

Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты. Пусть М(х,у) – текущая точка графика функции. Точка М (х,у) может удаляться от начала координат следующим образом:

1) х® а, у® ¥; 2) х®¥, у® b, 3) x®¥, y®¥.

В первом случае имеем , и прямая x = a является вертикальной асимптотой. Во втором случае и прямая y = b будет горизонтальной асимптотой. В третьем случае график функции y = f(x) имеет наклонную асимптоту, уравнение которой имеет вид y = kx +b.

Необходимое и достаточное условие существование невертикальных асимптот устанавливается с помощью теоремы:

Теорема. Для того чтобы прямая y = kx +b была асимптотой графика функции , необходимо и достаточно существование пределов

Если не существует хотя бы один из пределов, то невертикальных асимптот нет.