Основные методы интегрирования

а) Метод замены переменной.

Теорема. Пусть функция определена и дифференцируема на сегменте а сегмент [ a,b ] – множество ее значений. Пусть функция y =f(x) определена на [ a,b ] и имеет на этом сегменте первообразную F(x). Тогда на сегменте [ ] функция является первообразной для функции

Из теоремы следует, что

а так как то предыдущее равенство можно записать в виде

Полученная формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Пример. Найти интеграл .

=

б) Метод интегрирования по частям.

Пусть функции u=u(x) и v=v(x) дифференцируемы на сегменте [ a,b ]. Тогда имеет место равенство

Это равенство называется формулой интегрирования по частям.

Метод интегрирования по частям удобно применять в следующих случаях.

1. Подынтегральное выражение содержит в виде множителя функции Если в качестве взять эти функции, то подынтегральное выражение vdu нового интеграла обычно получаются проще исходного.

2. Подынтегральная функция имеет вид где Р(х) – многочлен относительно переменной х. Если в качестве u(x) взять Р(х), то в новом интеграле подынтегральная функция снова принадлежит к одному из указанных типов, но степень многочлена будет на единицу меньше. Выбирая этот многочлен снова в качестве u(x), понижаем степень еще на единицу и т.д.

3. Подынтегральная функция имеет вид . После двукратного интегрирования по частям получается снова исходный интеграл с некоторым коэффициентом. Полученное равенство является линейным алгебраическим уравнением относительно исходного интеграла.