Непрерывность функции в точке и на отрезке. Точки разрыва функции и их классификация

Функция y = f(x) называется непрерывной в точке , если она:

1) определена в точке и в некоторой ее окрестности;

2) имеет в этой точке односторонние пределы, равные значению функции в точке , т.е.

Можно дать другое определение непрерывности функции в точке, основанное на понятии приращения функции.

Функция y = f(x) называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и в некоторой ее окрестности и бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции , т.е.

На основании этого определения можно доказать непрерывность основных элементарных функций в произвольной точке своей области определения.

Функция y = f(x) называется непрерывной в интервале (a,b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Точка а называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) в этой точке не является непрерывной. Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а. Тогда а назыввается:

1) точкой устранимого разрыва функции f(x), если существует , но либо f(x) не определена в точке а, либо f(a)¹A (если положить f(a)=A, то функция f(x) станет непрерывной в точке а, т.е. разрыв будет устранен);

2) точкой разрыва первого рода функции f(x), если существуют f(a+ 0 ) и f(a -0 ), но f(a+ 0 ) ¹ f(a- 0 );

3) точкой разрыва второго рода функции f(x), если в точке а не существует по крайней мере один из односторонних пределов функции f(x).