Сравнение бесконечно малых функций. Применение бесконечно малых для вычисления пределов

Для решения различных задач для упрощения вычислений приходится заменять сложные аналитические выражения более простыми. В связи с этим возникает необходимость сравнивать между собой бесконечно малые и бесконечно большие функции при одном и том же стремлении их аргумента. Для сравнения таких функций рассматривают предел их отношения при одном и том же изменении их аргумента.

Пусть a(х) и b(х) - бесконечно малые функции при х®а (или х®¥).

Если , то бесконечно малые a(х) и b(х) называются бесконечно малыми одного порядка.

Если , то бесконечно малые a(х) и b(х) называются эквивалентными бесконечно малыми. Этот факт записывается следующим образом a(х) ~ b(х)

Если (или ), то бесконечно малая a(х) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем b(х) (при этом бесконечно малая b(х) называется бесконечно малой более низкого порядка, чем a(х)).

Для более точного сравнения бесконечно малых a(х) и b(х) в случае, когда a(х) является величиной более высокого порядка, чем b(х), то a(х) сравнивается с функциями вида Если для некоторого значения k оказывается, что , то функция a(х) называется бесконечно малой k -го порядка относительно b(х).

Свойства бесконечно малых функций.

1. На основании первого замечательного предела можно доказать, что функции , а на основании второго - функции являются эквивалентными бесконечно малыми при х ®0.

2. Теорема 1. Если a(х) и b(х) - бесконечно малые `при х®а и a(х) ~ a (х), b(х) ~ b (х), то

1. ~ и = .

2. и

3. Теорема2. Сумма конечного числа бесконечно малых функций различных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Теоремы о свойствах бесконечно малых функций позволяют находить пределы, заменяя бесконечно малые на эквивалентные им.