Основные теоремы о пределах. Два замечательных предела

Теорема 1. Всякую функцию, имеющую предел можно представить в виде суммы этого предела и бесконечно малой функции, т.е. если , то f(x) = A + a(x), где a(х) – бесконечно малая при х ® а

Теорема 2. Пусть функции имеют предел при , тогда при одном и том же стремлении х:

1) Предел суммы конечного числа функций равен сумме пределов для каждого слагаемого.

2) Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов для каждого сомножителя.

3) Предел частного двух функций равен частному пределов числителя и знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю

при условии, что

4) Предел степенно-показательного выражения находится по формуле:

5) Для всех основных элементарных функций в произвольной точке их области определения имеет место равенство

Теорема 3. (о поведении функции, заключенной между двумя другими функциями, имеющими предел)

Пусть функции u(x). f(x) и v(x) определены в окрестности точки а и в этой окрестности удовлетворяют неравенству и пусть функции u(x) и v(x) имеют равный предел при , Тогда и функция f(x) имеет при предел, равный А,