Свойства дисперсии

1)

2) .

3)

Пример. Банк выдал ссуды п разным заемщикам в размере S р. каждому под ставку ссудного процента r. Найти матема­тическое ожидание и дисперсию прибыли банка, а также усло­вие на ставку ссудного процента, если вероятность возврата ссуды заемщиком равна р.

Решение. Поскольку заемщики между собой не связаны, то можно полагать, что мы имеем п независимых испытаний. Вероятность утери ссуды для банка в каждом испытании рав­на q = 1 - р. Пусть Х — число заемщиков, возвративших ссуду с ссудным процентом, тогда прибыль банка определяется фор­мулой

где Х является случайной величиной с биномиальным зако­ном распределения. Тогда, согласно теореме, математи­ческое ожидание прибыли определяется с использованием фор­мулы

Поскольку выдача ссуды имеет смысл лишь при положитель­ном математическом ожидании прибыли (положительная сред­няя величина прибыли), то из условия М( П ) > 0 вытекает условие на ставку ссудного процента:

Дисперсия прибыли банка находится с использованием формулы и свойств

Средним квадратическим отклонением случайной величины(Х) называется .

Модой ( (х))случайной величины называется наиболее вероятное ее значение, то есть значение вероятность которого максимальна.

Если максимальные вероятности принимают несколько значений случайных величин, то такое распределение называется полимодальным.

Пример Дискретная случайная величина задана законом распределения:

	-1
	0,1	0,2	0,1	0,6

Найти числовые характеристики СВ:M(X),D(X), Ϭ(X), моду.

Решение. Построим многоугольник распределения данной случайной величины.

Математическое ожидание:

Дисперсия:

СКО:

Мода равна 2.