А) передаточные функции

Рассмотрим уравнение движения (3.16), устанавливающее связь между входной и выходной величинами системы

. (3.17)

Применим преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению, считая, что до приложения внешнего воздействия система находилась в покое и все начальные условия равны нулю

,

здесь - комплексный параметр .

Функцию называют оригиналом, а функцию - изображением и кратко записывают , что читается « преобразуется в » (стрелка всегда направлена к оригиналу).

Для производных имеют место соотношения

т.е. операция дифференцирования оригинала соответствует умножению изображения на число р в степени, соответствующий порядку производной.

Применяя к обеим частям уравнения (3.17) преобразование Лапласа перейдем к операторному уравнению

или

.

Введем обозначения:

-

- дифференциальный оператор при выходной величине, называемый собственным, или характеристическим оператором. Название обусловлено тем, что многочлен характеризует собственное движение элемента, т.е. движение при отсутствии внешних воздействий.

- дифференциальный оператор при входной величине, называемый оператором воздействий.

Передаточной функцией W (p) называют отношение изображений выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях

. (3.18)

Передаточная функция W (p) называется правильной, если степень ее числителя не больше, чем степень знаменателя; строго правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя; неправильной, если степень числителя больше, чем степень знаменателя.

Передаточная функция является функцией комплексной переменной , которая может при некоторых значениях переменной p обращаться в ноль или бесконечность. Значение переменной p, при котором передаточная функция обращается в ноль, называют нулем, а значение, при котором обращается в бесконечность – полюсом передаточной функции.

Из выражения (3.18) следует

т.е. при нулевых начальных условиях изображение выхода линейной системы вычисляется как произведение его передаточной функции на изображение входного сигнала.

Пример. Найти передаточную функции системы по известному дифференциальному уравнению. Начальные условия – нулевые.

.

Решение. Запишем уравнение в операторной форме, используя преобразование Лапласа

.

Тогда передаточная функция будет иметь вид

.

Передаточная функция характеризует динамику системы только по определенному каналу, связывающему конкретный вход системы и конкретный выход (рис.3.6). Если система имеет несколько входов и выходов, то она характеризуется несколькими передаточными функциями.

Рис.3.6. Примеры различных систем

а) с одним входом и одним выходом; б) с двумя входами и одним выходом;

в) двумя входами и двумя выходами.