Структурные модели

Следует отметить, что используемый выше оператор Лапласа имеет тесную связь с оператором дифференцирования . Для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами при нулевых начальных условиях с точностью до обозначения оператор р соответствует оператору s, т.е. . Это положение в значительной степени упрощает процесс анализа систем.

Допустим, что система имеет один вход и один выход и имеет передаточную функцию вида

.

Запишем уравнение в операторном виде, связывающее входные и выходные сигналы и соответствующие заданной передаточной функции

. (3.21)

Выразим уравнение (3.21) относительно старшей степени р

. (3.22)

Выходной сигнал можно получить последовательным интегрированием старшей производной . Для этого потребуется n последовательно включенных интеграторов, сигналы, на входах которых представляют собой производные от до (рис.3.11)

Рис.3.11. Последовательное интегрирование

Из уравнения (3.22) следует, что старшая производная равна переменной минус сумма выходных сигналов интеграторов, умноженных на коэффициенты . Тогда получим структурную модель, представленную на рис 3.12.

Рис.3.12. Структурная модель системы

Введем обозначения

тогда уравнение n – го порядка (3.21) можно записать в виде системы n дифференциальных уравнений первого порядка:

Структурная математическая модель динамических процессов систем обладает рядом преимуществ и перед аналитическими описаниями и перед передаточными функциями. Во первых, структурная модель дает ясное и наглядное представление понятию «состоянию систем» как совокупность сигналов на выходах интеграторов. Во вторых однозначно определяется структура взаимодействий между переменными в виде системы с обратными связями, которые определяют протекание динамических процессов. Одновременно структурные модели оказывают помощь при моделировании на аналоговых или цифровых вычислительных машинах.