Определитель

Пусть — квадратная матрица порядка с коэффициентами из кольца , .

Определение 1. Определителем ¹⁾ матрицы называется алгебраическая сумма всевозможных произведений коэффициентов , взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Иначе говоря,

,

где суммирование ведется по всем подстановкам порядка , — знак подстановки .

Замечание. Часто определитель матрицы определяют рекурсивно, используя разложение по первой строке (частный случайтеоремы Лапласа).

Пример 1. Определитель матрицы порядка 2: равен .

Пример 2. Определитель матрицы порядка 3 вычисляется по формуле

.

При вычислении определителей третьего порядка полезно помнить так называемое «правило треугольника»: произведение элементов, соединенных линиями, на первой диаграмме берется со знаком «+» произведение элементов, соединенных линиями, на второй диаграмме берется со знаком «-»