Внешняя прямая сумма

Пусть и — векторные пространства над полем .

Определение 4. Прямой суммой векторных пространств и называется декартово произведение с операциями сложения векторов и умножения их на скаляр, определенными следующей формулой:

.

Замечание 3. Определенная таким образом прямая сумма называется внешней. Непосредственной проверкой можно убедиться, что внешняя прямая сумма векторных пространств является векторным пространством.

Предложение 5. Внешняя прямая сумма пространств и обладает следующим свойством: если и — линейные отображения, определенные условиями , , то является внутренней прямой суммой подпространств и . Таким образом, .