Определение. Определение 1. Пусть и — конечномерные векторные пространства над полем сбазисами

Определение 1. Пусть и — конечномерные векторные пространства над полем сбазисами и соответственно. Рассмотрим линейное отображение . Тогда можно представить в виде для некоторых . Матрица называется матрицей линейного отображения ¹⁾ в базисах и . Столбцами этой матрицы являются координаты векторов в базисе .

Пусть произвольный вектор имеет следующие координаты в разложении по базису , , тогда его образ из пространства в базисе имеет разложение , где . То есть
.

Предложение 1. Существует взаимно однозначное отображение между множеством всех линейных отображений из -мерного векторного пространства в -мерное векторное пространство с фиксированными базисами и множеством матриц размера .

Определение 2. Матрица линейного оператора ²⁾ — это матрица линейного отображения в случае, когда .

Пример 1. Пусть — базис -мерного векторного пространства . Рассмотрим тождественный³⁾ линейный оператор . Так как , то матрица — это в точности единичная матрица
.

Предложение 2. Пусть — конечномерные векторные пространства, и — линейные отображения. Тогда .

Умножением двух линейных операторов и на пространстве будем считать их композицию: . Тогда справедливо

Предложение 3. Пространство линейных операторов является ассоциативной алгеброй над полем . В случае, если пространство конечномерно, алгебра изоморфна алгебре всех матриц порядка над полем . Изоморфизм задается отображением .