Свойства линейного отображения

Определение 5. Ядром ⁹⁾ линейного отображения называется множество .

Определение 6. Образом ¹⁰⁾ линейного отображения называется множество .

Замечание 2. Как следует из определений, , , то есть ядро и образ являются подмножествами векторных пространств.

Предложение 2. Ядро и образ линейного отображения являются подпространствами векторных пространств и , соответственно.

Предложение 3. Пусть — конечномерное векторное пространство, и — линейное отображение. Тогда и конечномерны и .

Предложение 4. Пусть — конечномерное векторное пространство. Линейное отображение инъективно тогда и только тогда, когда .

Следствие 1. Пусть — конечномерное векторное пространство. Линейное отображение сюръективно тогда и только тогда, когда .

Предложение 5. Множество всех линейных отображений из векторного пространства в векторное пространство является векторным пространством относительно операций сложения и умножения на скаляр, определенных правилами:

1. для двух линейных отображений и пространства в пространство их сумма определена формулой: для всех ;

2. для линейного отображения умножение на скаляр определено формулой: для всех .

Замечание 3. Векторное пространство линейных отображений из в обозначается через .