Переход от алгебраической формы к тригонометрической и показательной

Для того чтобы осуществить переход от алгебраической формы к тригонометрической и показательной, будем использовать следующий алгоритм:

1. Выделите параметры а и b в алгебраической форме .

2. Найдите модуль комплексного числа r по формуле: .

3. Для нахождения аргумента φ выполните вспомогательный чертеж и определите четверть, в которой расположен вектор (а, следовательно, и угол φ).

4. В зависимости от четверти, в которой лежит угол φ, воспользуйтесь одной из следующих формул:

если четверти, то ;

если четверти, то ;

если четверти, то ;

если четверти, то .

5. Подставьте найденные значения r и φ в тригонометрическую и показательную формы.

Пример 3. Переведите комплексное число в показательную и тригонометрическую формы.

х

ух

-6

0bаух

Рис. 1.

Решение. 1. Выделим параметры а и b в алгебраической форме : , .

2. Найдем модуль комплексного числа r по формуле : .

3. Для нахождения аргумента φ выполним вспомогательный чертеж (рис. 1). Видим, что полученный вектор образует с положительным направлением оси Ох угол , следовательно, без применения дополнительных формул делаем вывод, что .

4. Так как r = 6, а , то тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид: . Показательная форма того же числа равна .

Ответ: , .

Пример 4. Переведите комплексное число в показательную и тригонометрическую формы.

х

ух

0bаух

Рис. 2.

Решение. 1. Выделим параметры а и b в алгебраической форме : , .

2. Найдем модуль комплексного числа r по формуле : .

3. Для нахождения аргумента φ выполним вспомогательный чертеж (рис. 2). Видим, что полученный вектор (а, следовательно, и угол φ) расположен во второй четверти.

4. Воспользуемся формулой: если четверти, то .

Тогда = = = .

5. Так как r = 2, а , то тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид: . Показательная форма того же числа равна .

Ответ: , .

Список литературы:

1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч.1. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2011 – гл. 6, §27, с.187 - 188.