Задание 54. Переход от алгебраической формы к тригонометрической и показательной и обратно – 2 ч

Цель: формирование умения выполнять переход между различными формами комплексных чисел.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

& 54.1.Разберите технику перехода от тригонометрической, показательной и алгебраической форм ко всем остальным.

& 54.2. Закончите высказывания:

а) Алгебраическая форма комплексного числа имеет вид: z = …, где … - действительная часть, … - мнимая часть комплексного числа.

б) Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид: z = …, где r - …, φ - ….

в) Показательная форма комплексного числа имеет вид: z = …, где r - …, φ - ….

г ) Алгоритм перехода от алгебраической формы к тригонометрической и показательной включает следующие 4 этапа: …

i54.3. Заполните таблицу:

№	Форма исходного числа	Исходное число	Форма для перевода	Полученное число	Кодовая буква
1.	тригонометрическая		показательная
2.			алгебраическая
3.			тригонометрическая
4.			алгебраическая
5.		-6	показательная
6.			тригонометрическая
7.			показательная

Мы уже знаем, что каждому комплексному числу соответствует точка на плоскости. Возведем число в квадрат – появляется другая точка, еще раз возведем в квадрат (или любую другую степень), появляется новая точка на плоскости. Потом эту простейшую операцию повторим многократно с получающимся каждый раз новым комплексным числом. В зависимости от начального числа могут быть несколько вариантов. Однако при некоторых начальных значениях новые числа группируются внутри какой-либо области, а при отображении их на плоскости появляются невероятные изображения. Это группирование возводимых в квадрат комплексных чисел впервые подметил и описал Жюлиа в 1916 году. Как называются эти удивительно красивые изображения, Вы узнаете, выполнив задание 54.3.

Мы видим геометрическую фигуру, в которой один и тот же мотив повторяется в последовательно уменьшающемся масштабе. Про такие фигуры говорят, что они моделируют сами себя. Такая геометрия тесно связана с теорией хаоса. В природе существует много примеров: от раковины и цветной капусты до гор и листьев. Эта теория нашла широчайшее применение в компьютерной графике.

Карта ответов:

А	Д	Е	И
К	Л	О	Р
С	Т	Ф	Я

Если Вас заинтересовала данная великолепная математическая теория, Вы можете посмотреть интересные видео в сети Интернет, перейдя по ссылкам:

http://www.youtube.com/watch?v=b3adw5igSzI;

http://www.youtube.com/watch?v=Cfy0CXpR9Lo&feature=related;

http://www.youtube.com/watch?v=fr05uRumlNA&feature=relmfu;

http://www.youtube.com/watch?v=Yke32Oavr1I&feature=related.

?54.4. Выполните задания для подготовки к практической работе:

а) решите уравнение: ;

б) вычислите: ;

в) вычислите: ;

г) представьте число в тригонометрической и показательной формах: ;

д) представьте число в показательной форме: . Найдите все и постройте их на комплексной плоскости.

¶54.5. Найдите модуль и аргумент комплексного числа: .

Методические указания по выполнению работы:

Итак, существуют три формы записи комплексного числа:

· - алгебраическая форма (1);

· - тригонометрическая форма (2);

· - показательная форма (3).