Задание 53. Действия над комплексными числами в показательной форме – 1 ч

Цель: формирование умения выполнять операции над комплексными числами в показательной форме.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

& 53.1.Выучите, какой вид имеет показательная форма комплексного числа. Разберите, как выполнить умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня из комплексных чисел в показательной форме.

& 53.2. Закончите высказывания:

а) z = … - показательная форма комплексного числа, где r - …, φ - ….

б) заполните таблицу по технике действий над комплексными числами в показательной форме:

Операция	Модули (модуль)	Аргументы (аргумент)
Сложение	невыполнимо
Вычитание
Умножение	Умножаются	Складываются
Деление
Возведение в степень
Извлечение корня

в) Корень п -й степени из числа z имеет ровно … значений.

?53.3. Заполните таблицу и постройте на одном чертеже векторы, соответствующие заданным комплексным числам:

Комплексное число	Модуль	Аргумент	Изображение

i53.4. Заданы числа , . Выполните указанные действия над комплексными числами в показательной форме:

а) ; б) ; в) ; г)-е) .

Символ i, хотя и был предложен … (задание 52.4), вошел во всеобщее употребление благодаря другому великому математику. Именно он в 1831 году предложил используемое нами по сей день название таких чисел - “ комплексные числа ”. Слово «комплекс» (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений, образующих единое целое.

В начале XIX века было получено также геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и наш великий математик независимо друг от друга предложили изображать комплексное число точкой на координатной плоскости.

Выполнив задание 53.4 и заменив получившиеся ответы буквами из таблицы, Вы узнаете (или вспомните) фамилию этого великого математика.

Имя и фамилия математика, предложившего современное название комплексных чисел:

а)		б)	в)	г)	д)	е)
	.

Карта ответов:

А	В	Г	Д
Е	И	Й	К
Л	М	Н	О
С	С	У	Э

¶ 53.5. Решите систему линейных уравнений: где а и с можно получить, выполнив преобразования: .

Методические указания по выполнению работы:

По формуле Эйлера .

Тогда - показательная форма комплексного числа, где r – модуль, φ – аргумент комплексного числа.

Действия над комплексными числами в показательной форме (аналогичны действиям в тригонометрической форме).

Пусть , . Над ними выполнимы следующие операции:

1. Умножение: = (5). П ри умножении комплексных чисел в показательной форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.

2. Деление: (6). При делении комплексных чисел в показательной форме их модули делятся, а аргументы вычитаются.

3. Возведение в степень: (7). При возведении в степень комплексного числа в показательной форме модуль числа нужно возвести в п-ю степень, а аргумент умножить на п.

4. Извлечение корня п-й степени: (8), где , 1, 2… принимает ровно п значений.

Рассмотрим на примерах операции над комплексными числами в показательной форме.

Пример 1. Для комплексных чисел , найдите: а) ; б) ; в) ; г) .

Решение. а) Согласно формуле (5) получим = ∙ = = .

б) Используя формулу (6), находим = = = .

в) Применяя формулу (7), находим = = .

г) Извлечем квадратный корень из по формуле (8): , где параметр k будет принимать значения 0 и 1 (корней 2-й степени из числа существует ровно 2: и ).

При k =0 = = = .

При k =1 = = = .

Ответ: а) = , б) = , в) = , г) : = , = .

Список литературы:

1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч.1. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2011 – гл. 6, §27, с.188.