Задание 51. Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Решение квадратных уравнений – 1 ч

Цель: формирование умения выполнять операции над комплексными числами в алгебраической форме, решать квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

& 51.1.Повторите, что называют мнимой единицей. Какой вид имеет алгебраическая форма комплексного числа? Какова геометрическая интерпретация комплексных чисел? Разберите, как выполнить сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме. Какова техника решения квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом?

& 51.2. Закончите высказывания:

а) i – мнимая единица – число, …. i = ….

б) Алгебраическая форма комплексного числа имеет вид: z = …, где … - действительная часть, … - мнимая часть комплексного числа.

в) Множество комплексных чисел обозначают ….

г) Сопряжённым данному комплексному числу называют число, ….

д) Операции над комплексными числами в алгебраической форме аналогичны операциям с ….

При делении комплексных чисел в алгебраической форме необходимо домножить числитель и знаменатель дроби на число, … знаменателю.

е) Комплексное число z = … можно изобразить в виде … или ….

ж) При решении квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом получают два … корня.

·z3

г)

:z4

в)

- z2

б)

a)

+ z1

i51.3. Выполните действия над комплексными числами в алгебраической форме, заполнив цифрами пустые ячейки:

-2 + 3i

-

i

-

i

+

i

+

, , , .

Откуда берут своё начало комплексные числа? В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений вида корни находят по формуле:

.

Она безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один корень, а если оно имеет три действительных корня (), то под знаком квадратного корня оказывается отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

Тогда итальянский алгебраист Джероламо Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Кардано называл такие величины “чисто отрицательными” и даже “софистически отрицательными”, считал их бесполезными и старался не употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины.

Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название “ мнимые числа ” ввел в 1637 году французский математик и философ Рене Декарт. Осталось ввести обозначение мнимых чисел. Именно тогда был придуман символ i. Учёные полагают, что i – первая буква латинского imaginarius – воображаемый, мнимый.

Выполнив задание 51.3, впишите цифры из заштрихованных ячеек в соответствующие ячейки таблицы. Вы узнаете, в каком году впервые для обозначения мнимой единицы был использован символ i.

Год введения символа:

а)	б)	в)	г)

?51.4. Решите квадратное уравнение:

а) ; б) ; в) ; ¶г)

?51.5. Изобразите комплексные числа в виде точек на комплексной плоскости и, используя таблицу «Операции над векторами», найдите расстояние между ними:

.

¶ 51.6. Вычислите: а) , б) .

Методические указания по выполнению работы:

Мнимой единицей i будем называть такое число, квадрат которого равен -1.

, .

Числа вида , где а и b – действительные числа (, ), а i – мнимая единица, называются комплексными числами.

а – действительная часть комплексного числа;

bi – мнимая часть комплексного числа (b – коэффициент при мнимой части).

Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой комплексного числа.

Множество комплексных чисел принято обозначать буквой С.

В алгебраической форме над комплексными числами удобно выполнять операции: сложение, вычитание, умножение и деление.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел производят по правилам соответствующих действий над многочленами.

Пример 1. Для комплексных чисел и найдите: а) ; б) ; в) .

Решение. а) = + =

Действительную часть комплексного числа будем складывать с действительной частью, мнимую – с мнимой: = = .

При сложении двух комплексных чисел в алгебраической форме получили комплексное число также в алгебраической форме.

б) = - = = = - комплексное число в алгебраической форме.

в) = ∙ = = = = = - комплексное число в алгебраической форме.

Ответ: а) = ; б) = ; в) = .

Для того чтобы ввести операцию деления для комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, используем понятие сопряженных чисел.

Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.

Например, числа и - сопряженные, и - также сопряженные.

Чтобы выполнить деление комплексных чисел в алгебраической форме, необходимо домножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю.

Пример 2. Для комплексных чисел и найдите .

Решение. = . Домножим числитель и знаменатель дроби на число , сопряженное знаменателю: = = = = = = = = - комплексное число в алгебраической форме.

Ответ: = .

На множестве комплексных чисел возможно решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.