Смешанное произведение

Смешанным произведением трёх векторов называют число равное .

Геометрические свойства:

1). Если V – объём параллелепипеда, построенного на векторах , то . Если - правая тройка, то , если левая, то .

2). Вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно 0.

Основное алгебраическое свойство смешанного произведения состоит в том, что циклическая перестановка не меняет его величины, т.е.

Это свойство позволяет ввести обозначение:

(результат не зависит от того, как расставить скобки в правой части)

Смешанное произведение через координаты записывается в виде:

Примеры:

1. Доказать, что векторы образуют базис и найти разложение вектора в этом базисе.

Решение: Векторы в пространстве образуют базис, если они не- компланарны. Найдём смешанное произведение этих векторов.

Следовательно, векторы образуют базис. Пусть вектор имеет в этом базисе координаты .

Тогда .

Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты.

Решив эту систему, найдём .

Таким образом, .

2. Даны точки .

Найти: а). длину отрезка АВ,

б). в ,

в). ,

г). направляющие и единичный вектор направления .

Решение: а).

б). угол B в есть угол между векторами и .

в).

г).

Направляющие .

3. Найти , если .

Решение:

.

4. При каком векторы и перпендикулярны?

Решение:

Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.

.

5. Найти угол между векторами и .

.

6. Найти угол между векторами и , где и - единичные векторы и угол между ними равен .

.

7. Найти векторное произведение векторов и

.

8. Вычислить площадь треугольника с вершинами .

Решение:

.

9. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если .

10. Даны точки .

Найти: а). высоту , опущенную из вершины А на сторону ВС;

б). объём пирамиды ABCD.

а). С одной стороны , с другой стороны .

Таким образом, .

B

h

A C

б). Объём пирамиды ABCD равен объёма параллелепипеда, построенного на векторах .

.

.

11. Доказать, что точки лежат в одной плоскости.

Рассмотрим векторы .

Найдём их смешанное произведение:

Значит, векторы компланарны, следовательно, точки A,B,C,D лежат в одной плоскости.

12. Дана пирамида, вершины которой имеют координаты: . Найти высоту, опущенную на грань BCD.

Решение: С одной стороны с другой .

Таким образом, .

Следовательно, .

.

.