Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Смешанным произведением трёх векторов называют число равное .
Геометрические свойства:
1). Если V – объём параллелепипеда, построенного на векторах , то . Если - правая тройка, то , если левая, то .
2). Вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно 0.
Основное алгебраическое свойство смешанного произведения состоит в том, что циклическая перестановка не меняет его величины, т.е.
Это свойство позволяет ввести обозначение:
(результат не зависит от того, как расставить скобки в правой части)
Смешанное произведение через координаты записывается в виде:
Примеры:
1. Доказать, что векторы образуют базис и найти разложение вектора в этом базисе.
Решение: Векторы в пространстве образуют базис, если они не- компланарны. Найдём смешанное произведение этих векторов.
Следовательно, векторы образуют базис. Пусть вектор имеет в этом базисе координаты .
Тогда .
Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты.
Решив эту систему, найдём .
Таким образом, .
2. Даны точки .
Найти: а). длину отрезка АВ,
б). в ,
в). ,
г). направляющие и единичный вектор направления .
Решение: а).
б). угол B в есть угол между векторами и .
в).
г).
Направляющие .
3. Найти , если .
Решение:
.
4. При каком векторы и перпендикулярны?
Решение:
Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.
.
5. Найти угол между векторами и .
.
6. Найти угол между векторами и , где и - единичные векторы и угол между ними равен .
.
7. Найти векторное произведение векторов и
.
8. Вычислить площадь треугольника с вершинами .
Решение:
.
9. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если .
10. Даны точки .
Найти: а). высоту , опущенную из вершины А на сторону ВС;
б). объём пирамиды ABCD.
а). С одной стороны , с другой стороны .
Таким образом, .
B
h
A C
б). Объём пирамиды ABCD равен объёма параллелепипеда, построенного на векторах .
.
.
11. Доказать, что точки лежат в одной плоскости.
Рассмотрим векторы .
Найдём их смешанное произведение:
Значит, векторы компланарны, следовательно, точки A,B,C,D лежат в одной плоскости.
12. Дана пирамида, вершины которой имеют координаты: . Найти высоту, опущенную на грань BCD.
Решение: С одной стороны с другой .
Таким образом, .
Следовательно, .
.
.
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 306 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!