Матрицы. Действия над матрицами

Матрицей порядка называется прямоугольная таблица, состоящая из m - строк и n – столбцов

Часто записывают

Если количество строк матрицы равно количеству столбцов, то матрица называется квадратной, в противном случае – прямоугольной.

Нулевой называется матрица, все элементы которой нули.

Единичной матрицей порядка n называется квадратная матрица на главной диагонали которой единицы, все остальные элементы – нули.

Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю.

Главная диагональ квадратной матрицы содержит элементы

Побочная диагональ квадратной матрицы содержит элементы

Произведением матрицы на число k называют матрицу , в которой элементы определяют по правилу . При этом пишут .

Суммой матриц и называют матрицу , элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В, т.е. При этом пишут С=А+В. Складывать можно матрицы одинаковой размерности.

Транспонирование матрицы – это перестановка строк в столбцы.

Пусть дана матрица , то

Произведением матрицы на матрицу называют матрицу , элементы которой определяются по правилу . При этом пишут С=АВ.

Заметим, что произведение матриц определено, если количество столбцов первого сомножителя совпадает с количеством строк второго.

Введённые операции над матрицами обладают свойствами суммы и произведения чисел:

А+В=В+А А(В+С)=АВ+АС

α(А+В)=αА+αВ А+(В+С)=(А+В)+С

(α+β)А=αА+βА А(ВС)=(АВ)С

Не выполняется лишь коммутативность умножения, т.е. АВ≠ВА.