Прямая в пространстве

Прямая в пространстве может быть задана:

1). Общими уравнениями

,

что равносильно её заданию как линии пересечения двух плоскостей;

2). Каноническим уравнением

,

прямая проходит через точку параллельно направляющему вектору ;

3). Параметрическими уравнениями

.

Заметим, что направляющий вектор прямой можно найти как векторное произведение нормальных векторов и , т.е.

.

Угол между прямыми есть угол между направляющими векторами

.

Угол между прямой и плоскостью определяется по формуле:

.

Условие параллельности прямой и плоскости:

.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости: .

Условие принадлежности двух прямых одной плоскости. Пусть прямые заданы каноническими уравнениями:

и .

Две прямые лежат в одной плоскости, если компланарны векторы , т.е. их смешанное произведение равно 0, т.е.

.

Если , то прямые являются скрещивающимися.

Примеры:

1. Составьте уравнение плоскости, зная что точка служит основанием перпендикуляра, проведённого из начала координат к этой плоскости.

Решение: По условию задачи вектор является нормальным вектором плоскости и точка принадлежит плоскости.

Воспользуемся уравнением:

2. Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки: и и перпендикулярной плоскости .

Решение: Вектор нормали к плоскости параллелен искомой плоскости.

Выберем на плоскости текущую точку . Векторы - компланарны. Тогда

3. Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось и образующей с плоскостью угол .

Решение: Плоскость, проходящая через ось задаётся уравнением , где А и В одновременно в ноль не обращаются. Пусть , тогда . Обозначим , тогда уравнение плоскости примет вид .

Нормальный вектор данной плоскости , искомой плоскости .

По формуле косинуса угла между двумя плоскостями имеем:

.

Откуда получаем две плоскости:

4. В пучке, определяемом плоскостями и , найти две перпендикулярные плоскости, одна из которых проходит через точку .

Решение: Уравнение пучка плоскостей имеет вид:

или

.

Для того, чтобы выделить из пучка плоскость, проходящую через точку М, подставим координаты этой точки в уравнение пучка

откуда имеем .

Тогда уравнение плоскости, содержащей точку М, найдём, подставив соотношение в уравнение пучка

Так как (иначе , а это противоречит определению пучка), то имеем уравнение: .

Вторая плоскость, принадлежащая пучку, должна быть ей перпендикулярна. Запишем условие ортогональности нормальных векторов:

.

Значит, уравнение второй плоскости имеет вид:

или (в силу того, что )

5. Даны координаты вершин пирамиды

Найти угол между ребром и гранью .

Решение: Найдём вектор нормали к грани , как векторное произведение и .

.

Найдём координаты вектора .

Найдём угол между вектором нормали и :

Искомый угол между вектором и плоскостью равен .

6. Даны плоскость , прямая и точка .

а). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М и параллельной плоскости .

В качестве вектора нормали к искомой плоскости можно взять - нормаль . Поэтому уравнение плоскости будет иметь вид: .

б). Составить уравнение прямой, проходящей через точку М и параллельной . В качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять - направляющий вектор . Тогда уравнение прямой:

в). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М и перпендикулярной .

В качестве вектора нормали к исходной плоскости можно взять - направляющий вектор и уравнение плоскости будет

г). Составить уравнение прямой, проходящей через точку М и перпендикулярной .

Направляющим вектором искомой прямой можно взять - нормаль . Отсюда получим уравнение прямой

д). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М и прямую .

Запишем уравнение в параметрической форме: Придав два различных значения, например, найдём две точки прямой.

Точки принадлежат искомой плоскости. Составим уравнение плоскости, проходящей через три точки:

.

е). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М и перпендикулярной плоскостям и .

В качестве нормального вектора искомой плоскости можно взять векторное произведение и - нормальных векторов и .

.

Зная точку М, через которую проходит плоскость, и вектор нормали , составим уравнение искомой плоскости:

.

ж). Найти точку пересечения прямой и плоскости .

Воспользуемся параметрическими уравнениями прямой .

Подставим эти уравнения в уравнение плоскости .

.

Подставим найденное значение t в параметрические уравнения прямой

Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости

з). Найти расстояние от точки М до плоскости .

Нормируем уравнение плоскости

7. Найти каноническое уравнение прямой, если она задана в виде:

Решение: Чтобы составить каноническое уравнение нужно знать точку, через которую проходит эта прямая и направляющий вектор.

Для нахождения произвольной точки прямой примем её координату (можно взять любое другое значение) и подставим в систему

Итак, точка .

Прямая задана как пересечение плоскостей, векторы нормалей и перпендикулярны прямой. Поэтому в качестве направляющего вектора можно взять векторное произведение

.

Тогда каноническое уравнение прямой:

.

8. Найти расстояние от точки до прямой : .

Составим уравнение плоскости ,

проходящей через точку перпенди-

кулярно .

Найдём точку пересечения прямой и плоскости .

Перейдём к параметрическим уравнениям прямой :

Подставим их в уравнение плоскости:

Таким образом, точка .

Искомое расстояние

ТЕМА 3. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.