Предел функции. Число называется пределом функции при , если

Число называется пределом функции при , если , такое, что при .

Обозначение .

Число b называется пределом функции при слева, если каково бы ни было положительное число , найдётся такое число N (меньшее ), что для всех , лежащих между N и , выполняется неравенство .

.

Число b называется пределом функции при справа, если каково бы не было положительное число , найдётся такое число M (большее ), что для всех , лежащих между и M выполняется неравенство .

Функция называется бесконечно малой (бесконечно большой) при , если ().

Две функции и называются эквивалентными, если .

Обозначение .

Предел отношения функций не изменится, если каждую из них заменить эквивалентной ей функцией, т.е. если , то

.

Предел функции в точке области её определения равен частному значению функции в этой точке: .

Доказать, что

Зададим произвольное и покажем, что существует такое, что из неравенства следует неравенство .

Действительно,

.

Значит, если положить , то из неравенства следует неравенство . Таким образом, согласно определению, .

Практически предел функции находят не по определению, а на основании теорем о пределах.

Теорема 1. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций:

.

Теорема 2. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

.

Теорема 3. Постоянный множитель можно выносит за знак предела

.

Теорема 4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля:

, если .

Теорема 5. Если для функций выполняются неравенства

и , то .

Теорема 6 (первый замечательный предел).

.

Теорема 7 (второй замечательный предел).

или .