Ранг матрицы. Выберем в матрице k – строк и k – столбцов

Выберем в матрице k – строк и k – столбцов . Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов составим определитель k – го порядка, который назовём минором k – го порядка матрицы А. Рангом матрицы А называется число r, удовлетворяющее следующим условиям: 1) существует по крайней мере один минор порядка r, отличный от нуля; 2) все миноры порядка (r+1) равны нулю.

При этом пишут rank A=r. Если ранг матрицы А равен r, то любой отличный от нуля минор порядка r называется базисным.

Итак, для того чтобы вычислить ранг матрицы, необходимо вычислить все её миноры и среди них найти минор наибольшего порядка .

Очевидно, что ранг невырожденной матрицы равен порядку матрицы.

Не изменяют ранг матрицы следующие элементарные преобразования:

1) перестановка строк или столбцов;

2) умножение строк (столбцов) на число ;

3) прибавление к любой строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на число ;

4) зачёркивание нулевой строки (столбца);

5) транспонирование.

Трапецеидальной матрицей называется матрица, имеющая вид

где

Другими словами, матрица является трапецеидальной, если при и .

Ранг такой матрицы равен m.

Таким образом, для нахождения ранга матрицы с помощью элементарных преобразований нужно привести матрицу к трапецеидальному виду.