![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Системой линейных уравнений (СЛУ) называется система уравнений вида:
Система называется однородной, если
Матрица называется матрицей коэффициентов.
Матрица называют расширенной матрицей системы.
Столбец называют столбцом неизвестных.
Столбец называют столбцом свободных членов.
С учётом этих обозначений можно записать систему в матричной форме
.
Рассмотрим отдельно случай квадратной системы, когда , и общий случай, когда
.
1) Квадратная система
Пусть дана СЛУ, в которой и
.
Существуют три основных метода решения СЛУ:
а) метод Крамера
б) метод обратной матрицы
в) метод Гаусса
а) Обозначим
(определитель получается из
заменой i -го столбца на столбец свободных членов)
Тогда
б) Рассмотрим СЛУ в матричной форме
Домножим слева на
Но произведение
Таким образом
в) При решении СЛУ методом Гаусса, расширенную матрицу системы приводят к треугольному виду с помощью элементарных преобразований
По данной матрице составляется система
Из последнего равенства найдём и подставим его в предыдущее
Из этого равенства найдём и подставим в предыдущее и т.д.
2) Общий случай
Теорема Кронекера-Капелли
Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда
.
В случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, систему удобно решать методом Гаусса, который состоит в приведении расширенной матрицы к трапецеидальному виду путём применения элементарных преобразований. Если при этом на некотором этапе получается строка, в которой все элементы, кроме столбца свободных членов, равны нулю, то система несовместна (это случай, когда ). Если
, то система имеет бесконечно много решений, и каждое решение зависит от
не зависящих друг от друга параметров, т.е. степень свободы системы
. В качестве параметров удобно брать «лишние неизвестные», которые объявляются свободными, остальные переменные – базисные выражаются через свободные.
Однородная система линейных уравнений
Расширенная матрица отличается от матрицы коэффициентов наличием нулевого столбца, т.е. . Значит, по теореме Кронекера-Капелли система всегда совместна. Одно решение очевидно -
. Это решение называется тривиальным. Если
, то решение единственное – тривиальное, если
, то решений бесконечно много.
Обозначим базисные неизвестные , тогда
В матричной форме
Можно записать так:
, где
Решение называется фундаментальной системой решений (ФСР) однородной системы. Общее решение системы является линейной комбинацией фундаментальной системы решений.
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 270 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!