Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Вектором называется направленный отрезок. К векторам относится также нулевой вектор, начало и конец которого совпадают. Вектор характеризуется своей длиной (модулем) и направлением.
B
A
Линейные операции над векторами:
1). Сложение векторов.
Складывают два вектора по правилу параллелограмма или треугольника. Правило треугольника можно обобщить на n-слагаемых. Если каждый раз соединять начало последующего вектора с концом предыдущего, то получим ломаную линию. Вектор, соединяющий начало первого с концом последнего и есть сумма.
2). Умножение вектора на число.
При умножении вектора на число его модуль увеличивается (если ) или уменьшается (если ) в раз, а направление не изменяется, если и меняется на противоположное, если .
В любом случае векторы и лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Такие векторы называются коллинеарные.
Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
Векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях, называются компланарными.
Свойства линейных операций:
1). Коммутативность
2). Ассоциативность
,
3). Дистрибутивность
, где
Рассмотрим систему векторов . Выражение вида , где называется линейной комбинацией векторов . Если в линейной комбинации все , то система векторов линейно независима. Если существуют , то система – линейно зависима.
Любая упорядоченная линейно независимая тройка векторов называется базисом в пространстве. Векторы называются базисными. Если базисные вектора взаимно перпендикулярны, то базис называется ортогональным. Если базисные векторы имеют единичную длину, то они называются ортами. Базис называется ортонормированным, если базисные векторы единичные и взаимно перпендикулярные. Декартова система координат – ортонормированная, орты прямоугольной декартовой системы координат обозначают .
Пусть - некоторый базис в пространстве. Пусть - произвольный вектор пространства. Рассмотрим линейную комбинацию
Так как любая четвёрка векторов линейно зависима, то не все коэффициенты линейной комбинации равны 0.
Эта формула даёт разложение вектора по базису (). Коэффициенты - координаты вектора в этом базисе. Разложение вектора по базису единственное, т.е. координаты вектора однозначно определяют сам вектор.
В связи с этим можно записать следующие свойства:
Пусть даны векторы и
1). Равные векторы имеют одинаковые координаты, т.е. если , то .
2). При умножении вектора на число, его координаты умножаются на это число .
3). При сложении двух векторов складываются их соответствующие координаты .
Проекцией вектора на вектор называется число , где .
Координаты вектора в прямоугольном базисе совпадают с проекциями вектора на базисные орты , а длина вектора равна
Числа
называются направляющими косинусами вектора .
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 514 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!