Векторы. Основные определения

Вектором называется направленный отрезок. К векторам относится также нулевой вектор, начало и конец которого совпадают. Вектор характеризуется своей длиной (модулем) и направлением.

B

A

Линейные операции над векторами:

1). Сложение векторов.

Складывают два вектора по правилу параллелограмма или треугольника. Правило треугольника можно обобщить на n-слагаемых. Если каждый раз соединять начало последующего вектора с концом предыдущего, то получим ломаную линию. Вектор, соединяющий начало первого с концом последнего и есть сумма.

2). Умножение вектора на число.

При умножении вектора на число его модуль увеличивается (если ) или уменьшается (если ) в раз, а направление не изменяется, если и меняется на противоположное, если .

В любом случае векторы и лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Такие векторы называются коллинеарные.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях, называются компланарными.

Свойства линейных операций:

1). Коммутативность

2). Ассоциативность

,

3). Дистрибутивность

, где

Рассмотрим систему векторов . Выражение вида , где называется линейной комбинацией векторов . Если в линейной комбинации все , то система векторов линейно независима. Если существуют , то система – линейно зависима.

Любая упорядоченная линейно независимая тройка векторов называется базисом в пространстве. Векторы называются базисными. Если базисные вектора взаимно перпендикулярны, то базис называется ортогональным. Если базисные векторы имеют единичную длину, то они называются ортами. Базис называется ортонормированным, если базисные векторы единичные и взаимно перпендикулярные. Декартова система координат – ортонормированная, орты прямоугольной декартовой системы координат обозначают .

Пусть - некоторый базис в пространстве. Пусть - произвольный вектор пространства. Рассмотрим линейную комбинацию

Так как любая четвёрка векторов линейно зависима, то не все коэффициенты линейной комбинации равны 0.

Эта формула даёт разложение вектора по базису (). Коэффициенты - координаты вектора в этом базисе. Разложение вектора по базису единственное, т.е. координаты вектора однозначно определяют сам вектор.

В связи с этим можно записать следующие свойства:

Пусть даны векторы и

1). Равные векторы имеют одинаковые координаты, т.е. если , то .

2). При умножении вектора на число, его координаты умножаются на это число .

3). При сложении двух векторов складываются их соответствующие координаты .

Проекцией вектора на вектор называется число , где .

Координаты вектора в прямоугольном базисе совпадают с проекциями вектора на базисные орты , а длина вектора равна

Числа

называются направляющими косинусами вектора .