Лекция 42 Первообразная

Восстановление функции по известной производной этой функции составляет одну из основных задач интегрального исчисления.

Определение 1: Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на некотором промежутке X, если для всех значений х из этого промежутка выполняется равенство F ¢(x)= f (x).

Задача отыскания по данной функции f (x) её первообразной решается неоднозначно. Действительно, если F (x) — первообразная для f (x), т. е. F ¢(x)= f (x), то функция F (x)+ C, где С —произвольная постоянная, также является первообразной для f (x), так как [ F (x)+ C ]¢= f (x) для любого числа С.

Теорема 1: Функция, производная которой на некотором промежутке X равна нулю, постоянна на этом промежутке.

Теорема 2: Если F (x) — первообразная для функции f (x) на некотором промежутке X, то любая другая первообразная для f (x) на том же промежутке может быть представлена в виде F (x)+ C, где С — произвольная постоянная.

Лекция 43 Неопределённый интеграл.

Определение 1: Если функция F (x) — первообразная для функции f (x), то множество функций F (x) +C, где С — произвольная постоянная, называется неопределённым интегралом от функции f (x)и обозначается символом

При этом функция f(x) называется подынтегральной функцией, f (x) dx — подынтегральным выражением, а переменная х — переменной интегрирования.

Символ обозначает, таким образом, совокупность всех первообразных для функции f (x).

Восстановление функции по ее производной или, что то же, отыскание неопределённого интеграла по данной подынтегральной функции называется интегрированием этой функции. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

В связи с понятием первообразной возникает вопрос: для каких функций существуют первообразные (а значит, и неопределённые интегралы).

Доказано любая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке первообразную (следовательно, и неопределённый интеграл). В дальнейшем будем считать, что все функции, стоящие под знаком интеграла, непрерывны и формула имеет смысл.

В случае разрывной функции будем рассматривать ее интегрирование только в тех промежутках, в которых она непрерывна.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой множество (семейство) кривых, являющихся графиками первообразных y = F (x)+ С. Если y = F (x) - какая-нибудь кривая, то все другие кривые получаются из неё параллельным сдвигом вдоль оси Оу.

Лекция 44 Свойства неопределённого интеграла.

Свойство 1: Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, т. е.

Свойство 2: Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т. е.

Свойство 3: Постоянный множитель можно вынести из-под знака интеграла, т. е. если k=const¹0,

Свойство 4: Неопределённый интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций отдельно, т. е.

.