![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть функция y = f (x) дифференцируема на интервале (a, b). Тогда существует касательная к графику функции y = f (x) в любой точке M (x; f (x)) этого графика (a < x < b), причем касательная не параллельна оси Оу, поскольку её угловой коэффициент, равный f ¢(x), конечен.
Определение 1: Будем говорить, что график функции у = f (x) имеет на (a, b) выпуклость, направленную вниз – вогнутость (выпуклость, направленную вверх – выпуклость), если он расположен не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на (а, b).
Замечание: на участке выпуклости касательные к графику функции не пересекаются с самим графиком и имеют с ним лишь точки касания.
Теорема 1 (признак выпуклости (вогнутости)): Если функция f (х) дважды дифференцируема на интервале (a, b) и f ²(х)≥0 (f ²(х)≤0) на (a, b), то функция f (x) вогнута (выпукла) на (a, b).
Определение 2: Точка М (х 0; f (х 0)) называется точкой перегиба графика функции y = f (x), если в точке М график имеет касательную, и существует такая окрестность точки х 0, в пределах которой график функции y = f (x) слева и справа от точки х 0 имеет разные направления выпуклости.
Теорема 2 (необходимое условие точки перегиба): Если функция f (х) имеет в точке х 0 перегиб и дважды дифференцируема в этой точке, то f ²(х 0)=0.
Замечание: Если в точке х 0 f ²(х 0)=0, то она может и не быть точкой перегиба.
Теорема 3 (достаточное условие перегиба): Пусть функция f (х) дважды дифференцируема в некоторой d -окрестности точки х 0. Тогда, если f ²(x)< f ²(х 0) (f ²(x)> f ²(х 0)) для всех х из (х 0- d, х 0), а f ²(x)> f ²(х 0) (f ²(x)< f ²(х 0)) для всех х из (х 0, х 0+ d), то в точке х0 функция f (х) имеет перегиб, если же f ²(х) во всей d -окрестности точки х 0 имеет один и тот же знак, то в точке х 0 перегиба нет.
Другими словами, если f ²(x) при переходе через точку х 0 меняет знак с «+» на «-», или с «-» на «+», то х 0 — точка перегиба, если же знак f ²(x) в точке х 0 не изменяется, то в точке х 0 перегиба не существует.
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 346 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!