![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Теорема 1 (признак монотонности): Если функция f (х) дифференцируема на интервале (a, b) и f ¢(х)≥0 (f ¢(х)≤0) на (a, b), то функция f (x) не убывает (не возрастает) на (a, b).
Теорема 2 (признак возрастания (убывания): Если функция f (х) дифференцируема на интервале (a, b) и f ¢(х)>0 (f ¢(х)<0) на (a, b), то функция f (x) возрастает (убывает) на (a, b).
Определение 1: Точка х 0 называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции f (х), если для всех х из некоторой d -окрестности точки х 0 выполняется неравенство f (x)< f (х 0) (f (x)> f (х 0)) при, х ≠ х 0.
Локальный максимум (max) и локальный минимум (min) объединяются общим названием локальный экстремум.
Из определения следует, что понятие экстремума носит локальный характер в том смысле, что в случае экстремума неравенство f (x)< f (х 0) (f (x)> f (х 0)) не обязано выполняться для всех значении х в области определения функции, а должно выполняться лишь в некоторой окрестности точки х 0. Очевидно, функция может иметь несколько локальных максимумов и несколько локальных минимумов, причём может так случиться, что иной локальный максимум окажется меньше какого-то локального минимума.
Замечание: Если в определении знаки строгих равенств заменить на нестрогие, по получим точки нестрогого экстремума.
Теорема 3 (необходимое условие локального экстремума): Если функция f (х) имеет в точке х 0 локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то f ¢(х 0)=0.
Замечание: Если х 1, х 2, и х 3 — точки локального экстремума и в соответствующих точках графика существуют касательные, то эти касательные параллельны оси Ох. Иногда такие точки называют стационарными (критическими); мы будем называть их точками возможного экстремума. Если точка х 0 — точка возможного экстремума, т. е. f ¢(х 0)=0, то она может и не быть точкой локального максимума (минимума).
Теорема 4 (достаточное условие локального экстремума): Пусть функция f (х) дифференцируема в некоторой d -окрестности точки х 0. Тогда, если f¢ (x)< f¢ (х 0) (f¢ (x)> f¢ (х 0)) для всех х из (х 0- d, х 0), а f¢ (x)> f¢ (х 0) (f¢ (x)< f¢ (х 0)) для всех х из (х 0, х 0+ d), то в точке х 0 функция f (х) имеет локальный максимум (минимум), если же f¢ (х) во всей d -окрестности точки х 0 имеет один и тот же знак, то в точке х 0 локального экстремума нет.
Другими словами, если f¢ (x) при переходе через точку х 0 меняет знак с «+» на «-», то х0 — точка локального максимума, если f¢ (x) в точке х 0 меняет знак с «-» на «+», то х 0 — точка локального минимума, если же знак f¢ (x) в точке х 0 не изменяется, то в точке х 0 экстремума не существует.
Теорема 5 (достаточное условие локального экстремума): Если в точке х 0
первая производная функции равна нулю f¢ (х 0)=0,
а вторая производная существует и отлична от нуля f ²(x)¹0, то при
f ²(x)>0 в точке х 0 – функция имеет минимум d, х 0),
f ²(x)<0 в точке х 0 – функция имеет максимум.
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 353 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!