Лекция 36 Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема 1 (теорема Ферма): Пусть функция f (x) определена на интервале (а, b) и в некоторой точке х ₀ этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке х ₀ существует производная, то она равна нулю, то есть f ¢(х ₀)=0.

Геометрический смысл: если в точке х ₀ дифференцируемая функция f (x) имеет наибольшее (наименьшее) значение, то в точке (х ₀; f (х ₀)) касательная к графику функции f (x) параллельна оси Ох.

Теорема не верна если функцию f (x) рассматривать на отрезке [ а, b ].

Теорема 2 (теорема Ролля): Пусть на отрезке [ а, b ]определена функция f (x), причём:

1) f (x) непрерывна на [ а, b ];

2) f (x) дифференцируема на (а, b);

3) f (а)= f (b).

Тогда существует точка с Î(а, b), в которой f ¢(c)=0.

Геометрический смысл: у графика непрерывной на отрезке [ а, b ]и дифференцируемой внутри него функции, принимающей на концах этого отрезка равные значения, существует точка (с; f (с)), в которой касательная параллельна оси Ох.

Теорема 3 (теорема Лагранжа): Пусть на отрезке [ а, b ]определена функция f (x), причем:

1) f (x) непрерывна на [ а, b ];

2) f (x) дифференцируема на (а, b);

3) f (а)¹ f (b);

Тогда существует точка с Î(а, b) такая, что справедлива формула

Геометрический смысл: у графика непрерывной на отрезке [ а, b ]и дифференцируемой внутри него функции, принимающей на концах этого отрезка разные значения, существует точка (с; f (с)), в которой касательная к графику параллельна секущей, проходящей через точки (а; f (а)) и (b; f (b)). Таких точек может быть и несколько, но по крайней мере одна всегда существует.

Равенство называется формулой Лагранжа.

Теорема 4 (теорема Коши): Пусть функции f (x) и g (х) определены на отрезке [ а, b ], причем:

1) f (x) и g (х) непрерывны на [ а, b ];

2) f (x) и g (х) дифференцируемы на (а, b);

3) g ¢(х)¹0;

Тогда существует точка с Î(а, b) такая, что справедлива формула

Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши, если g (x)= х.