Лекция 45 Основные методы интегрирования

1) Непосредственное интегрирование;

2) Метод подстановки;

3) Метод интегрирования по частям.

· Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов с помощью таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределённых интегралов называется непосредственным интегрированием.

· Метод подстановки. Во многих случаях введе­ние новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного, т. е. перейти к непосредственному интегрированию. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной. В его основе лежит следующая теорема.

Теорема: Пусть функция x = j (t) определена и дифференцируема на некотором промежутке Т и пусть X - множество значений этой функции, на котором определена функция f (x), т. е. на Т определена сложная функция f (j (t)). Тогда если на множестве X функция f (x) имеет первообразную F (x), то справедлива формула (формула замены переменной в неопределённом интеграле):

Тождественное преобразование подынтегрального выражения с выделением дифференциала новой переменной интегрирования – простейшая замена переменной или метод внесения под знак дифференциала. Таким образом, устанавливается и общая формула

· Метод интегрирования по частям. Метод ин­тегрирования по частям основан на использова­нии формулы дифференцирования произведения двух функций.

Теорема: Пусть функции u (х) и v (x) определены и дифференцируемы на некотором промежутке X и пусть функция u '(x) v (x) имеет первообразную на этом промежутке, т. е. существует ò v (x) u '(x) dx. Тогда на промежутке X функция u (x) v '(x) также имеет первообразную и справедлива формула:

Интегрирование сложнее дифференцирования. Дифференцирование не выводит из класса элементарных функций в отличие от интегрирования.

Таблица неопределённых интегралов некоторых функций.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.

Основные свойства неопределённого интеграла.

	Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции.
	Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению.
	Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной.
	Постоянный множитель можно вынести из-под знака интеграла, если k = const ¹0.
	Неопределённый интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций отдельно.

Связь между дифференцированием и интегрированием:

Простейшая функция	Дифференциал	Интеграл
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·