Лекция 30 Понятие дифференциала

Пусть функция f (x) дифференцируема в точке х ₀, т. е. приращение D у можно записать в виде суммы двух слагаемых:

D у = А D х + a (D х)D х, где .

Первое слагаемое: А D х является при D х ®0 бесконечно малой одного порядка с D х, оно линейно относительно D х. Второе слагаемое: a (D х)D х при D х ®0 - бесконечно малая более высокого порядка, чем D х

.

Таким образом, первое слагаемое является главной частью приращения функции f (x).

Определение 1: Дифференциалом функции y = f (x) в точке х ₀, называется главная, линейная относительно D х часть приращения функции dy = A D х.

Но (принимаем без доказательства) А = f ¢(х ₀), поэтому dy = f ¢(х ₀)D х.

Определение 2: Дифференциалом независимой переменной х называется приращение этой переменной: dх =D х. Получаем:

dy = f ¢(х ₀) dх и .