Корни уравнения четвертой степени

Уравнение четвертой степени

(2.4) решается методом Феррари. Преобразуем левую часть (2.4) с помощью вспомогательного параметра следующим образом:

. (2.5) Параметр подбирается таким образом, чтобы выражение, стоящее во вторых скобках правой части, было квадратом двучлена первой степени.

Следовательно, должно выполняться условие .

Это уравнение третьей степени относительно , которое решается по формулам Кардана. Пусть − один из корней этого уравнения. Тогда выражение приводится к виду:

,

где , , а уравнение (2.4) принимает вид

или

.

Решение последнего уравнения сводится к решению двух квадратных уравнений.

П р и м е р. Решить уравнение .

Решение. Введем дополнительный параметр и преобразуем левую часть исходного уравнения:

.

Рассмотрим уравнение . Это уравнение имеет один кратный корень, если , т. е. выполняется равенство

.

При решении этого уравнения получаем, что один из его корней . При этом значении уравнение принимает вид

, т. е. .

Из полученных соотношений находим корни исходного уравнения: , .