![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
В различных разделах современной математики, а также ее приложениях применяется показательная форма комплексного числа. В основе показательной формы лежит формула Эйлера, устанавливающая связь между тригонометрическими функциями действительного аргумента и показательной функцией мнимого аргумента.
Первая формула Эйлера (без вывода):
, (1.15) где е – иррациональное число, принятое за основание натуральных логарифмов (е» 2,718).
Если в формуле произвести замену по формуле (1.15), то получим
. Это и есть показательная форма комплексного числа
. В этой записи
− модуль комплексного числа,
− его аргумент. Заменим в формуле (1.15)
на -
, получим вторую формулу Эйлера:
. (1.16)
Из формул (1.15) и (1.16) следует, что
,
. (1.17)
Равенства (1.17) также называются формулами Эйлера и выражают тригонометрические функции действительного переменного через показательные функции мнимого аргумента. Формулы (1.17) справедливы и тогда, когда
заменяется любым комплексным числом
, т. е.
,
. Эти равенства принимают за определение косинуса и синуса комплексного аргумента.
Тригонометрические функции комплексного переменного также периодичны, причем период . Покажем это для функции
. Действительно,
=
=
=
=
, так как по формулам Эйлера
,
. Примечательно, что все формулы обычной тригонометрии сохраняют свою силу в комплексной плоскости, например,
. Однако в отличие от действительных чисел могут иметь место неравенства
и
. Например,
.
МНОГОЧЛЕНЫ
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 430 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!