![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение. Одночленом от переменной с коэффициентом из множества А называется выражение вида
, где
,
− целое неотрицательное число.
Считается, что , поэтому все элементы множества А являются одночленами частного вида.
Определение. Одночлены называются подобными, если показатели степени одинаковы.
Подобные одночлены складываются по правилу , которое называется правилом приведения подобных членов. Для одночленов определяется и действие умножения
.
Определение. Многочленом n -й степени от неизвестного х называется сумма целых неотрицательных степеней, не превышающих п, неизвестного х, взятых с некоторыми числовыми коэффициентами, т. е. выражение вида
, (2.1)
причем .
В многочлене порядок слагаемых безразличен, и подобные одночлены можно соединять по правилу приведения подобных членов. Запись (2.1) называется канонической формой многочлена. Иногда удобно записывать многочлены в порядке возрастания показателей. Многочлены обозначаются ,
,
и т. д.
Пусть , причем
. Одночлен
называется высшим (старшим) членом многочлена
, а показатель
− степенью многочлена
и обозначается
. Нулевой многочлен не имеет высшего члена в смысле данного определения и считается, что он равен 0. Степень нулевого многочлена считается равной символу
.
Определение. Два многочлена называются равными (или тождественно равными), если они составлены в канонической записи из одинаковых одночленов, т.е. в том и только в том случае, если
,
.
Иными словами, в равных многочленах равны коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного х.
Определение. Суммой двух многочленов называется многочлен, получающийся при объединении одночленов, составляющих слагаемые. После объединения необходимо привести подобные члены. Таким образом, =
+
+ … + +
.
Определение. Произведением двух многочленов называется многочлен, составленный из произведений всех членов первого сомножителя на все члены второго. После приведения подобных членов получим, что =
.
Коэффициент при равен
, если считать, что
при
и
при
.
Пусть даны два многочлена и
, причем
и
. Тогда произведение
содержит ненулевой одночлен, который будет высшим для произведения данных многочленов, так как остальные произведения членов
на члены
имеют меньшую, чем
степень.
Для любых двух многочленов и
можно найти такие многочлены
и
, что
, (2.2)
причем степень меньше степени
или же
. Многочлены
и
, удовлетворяющие условию (2.2), определяются однозначно. Многочлен
называется частным, а
− остатком.
Определение. Пусть даны два ненулевых многочлена и
. Если остаток от деления
на
равен нулю, то многочлен
называется делителем многочлена
.
Определение. Если − многочлен,
, то
называется значением многочлена
при
.
Теорема. Остаток от деления многочлена на линейный многочлен
равен значению
многочлена
при
.
Доказательство. Согласно (2) , где
− многочлен нулевой степени, т. е. константа. Переходя в этом равенстве к значениям при
, получим
, откуда
. Теорема доказана.
П р и м е р. Найти остаток от деления многочлена
на многочлен
.
Решение. По доказанной ранее теореме
.
Если для полиномов и
существует такой полином
, что
, то говорят, что полином
делится на полином
. Рассмотрим вопрос о делимости
на линейный двучлен
, где
.
Теорема (Безу). Для того чтобы полином делился на
, необходимо и достаточно, чтобы
.
Доказательство. А. Необходимость. Пусть делится на
, т. е.
. Тогда
. Б. Достаточность. Пусть
. Тогда в равенстве
будет
, т. е.
. Теорема доказана.
Определение. Число с называется корнем полинома , если
.
С использованием этого определения теорема Безу может быть сформулирована следующим образом: для того чтобы полином делился на двучлен
, необходимо и достаточно, чтобы с было корнем
. Таким образом, отыскание корней многочлена равносильно отысканию его линейных делителей.
П р и м е р. Является ли линейный многочлен делителем многочлена
?
Решение. Найдем :
, следовательно,
не является делителем многочлена
.
Схема Горнера
Теорема. Пусть и
. Найдутся многочлен
и число
такие, что
.
Доказательство. Будем искать в виде
. Из равенства
=
при сравнении коэффициентов получаем цепочку равенств:
,
,
,...,
,
, откуда последовательно определяются коэффициенты
и остаток
:
,
,
,…,
,
.
Теорема доказана. Более того, получен очень удобный способ вычисления коэффициентов и остатка
. Этот способ носит название схемы Горнера.
П р и м е р. Найти неполное частное и остаток от деления многочлена на линейный двучлен
.
Решение. Составим таблицу:
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Таким образом, неполное частное , остаток 32.
П р и м е р. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .
Решение. Разложим числитель по степеням
с использованием схемы Горнера:
-1 | ||||
Таким образом, . Следовательно,
.
Кратные корни
Определение. Если , где многочлен
уже не делится на
, то число к называется кратностью корня с в многочлене
, а сам корень с – к -кратным корнем этого многочлена. Если к = 1, то говорят, что корень с простой.
Теорема. Если число с является к -кратным корнем многочлена , то при
оно будет (к −1)-кратным корнем первой производной этого многочлена. Если же
, то с не будет служить корнем для
.
Доказательство. Пусть . В этом случае
,
. В выражении для
первое слагаемое не делится на
, следовательно, линейный двучлен
не является делителем
, т. е. с не является корнем для
. Если же
, то
. Первое слагаемое в этой сумме делитсяна
, а второе – на
, следовательно, с − (к −1)-кратный корень для
. Теорема доказана.
Следствие. Если число с является корнем для ,
,…,
, но не является корнем для
, то в этом случае с − к -кратный корень многочлена
.
П р и м е р. Чему равен показатель кратности корня 2 для многочлена
?
Решение. При имеем
. Найдем
:
;
. Найдем
:
;
. Производная 3-го порядка:
;
, таким образом, кратность корня 2 для многочлена
равна 3.
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 1125 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!