Извлечение квадратного корня из комплексного числа

Извлечение корня из комплексного числа можно осуществить, не обращаясь к тригонометрической форме. Выведем алгебраическую формулу для выполнения этого действия.

Пусть . Интересен случай , поэтому рассмотрим только его. Тогда . Это равносильно системе уравнений:

(1.12)

Эта задача имеет вещественные решения, так как всегда существует квадратный корень из комплексного числа. Из второго уравнения системы , подставляя которое в первое уравнение системы (1.12), получаем биквадратное уравнение относительно неизвестного . Его решениями являются , поэтому . Для любого вещественного числа t существует функция , которая задается следующим образом:

(1.13)

С учетом введенной функции получаем формулу для нахождения квадратного корня из комплексного числа:

. (1.14)

П р и м е р. Найти корни уравнения .

Решение. Корни уравнения равны . Пусть = . Относительно неизвестных и имеем систему уравнений

Из второго уравнения этой системы , поэтому относительно неизвестного получаем уравнение , или . Учитывая, что - вещественное число, находим , т. е. . Следовательно, . Таким образом, .