![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть n – натуральное число. Извлечение корня с показателем n из комплексного числа z равносильно нахождению такого комплексного числа w, что . Каждое число w такое, что
, называется корнем n-й степени из z и обозначается
. Если
, то единственным значением
является число 0. Рассмотрим случай
. Запишем число
в тригонометрической форме
и будем искать
тоже в тригонометрической форме
. Равенство
в этом случае запишется в виде
. (1.10)
Учитывая определение равенства комплексных чисел, получим, что у равных комплексных чисел равны модули, а аргументы отличаются на число 2pk, где k Î Z. Таким образом, из формулы (1.10) следует, что ,
,
. Данное число r положительно (так как
) и искомое число
должно быть тоже положительным. Известно, что
такое, что
, которое называется арифметическим значение корня n-й степени, и это значение принято записывать в виде степени с дробным показателем, т. е.
. Аргумент q находится по формуле
. Таким образом, корни n-й степени из комплексного числа z существуют, и все они определяются формулой
,
,
. (1.11)
Теорема. Существует ровно n значений корня n -й степени из отличного от нуля комплексного числа , определяемых по формуле
, где k = 0, 1, 2,…, n -1.
Доказательство. Существование корней n-й степени из отличного от нуля комплексного числа было рассмотрено ранее. Аргументы
(k = 0, 1, 2,…, n -1) равны
,
,
, …,
идут в возрастающем порядке (т. к.
), причем каждый из них меньше 2p (наибольший из них
, так как главное значение аргумента меньше 2p). В пределах одной окружности два различных угла не могут иметь одновременно одинаковые значения синуса и косинуса, следовательно, все значения корней будет различны. Все натуральные числа, большие (п −1), могут быть представлены в виде пт + р, где т и р – натуральные числа, причем р < п. Тогда
=
=
,
=
=
.
Таким образом, значения аргументов совпадают с найденными ранее, т. е. формула (1.11) при условии k = 0, 1, 2,…, n−1 определяет все n различных корней из комплексного числа.
П р и м е р. Найти .
Решение. В тригонометрической форме . Согласно формуле
=
=
+ +
+
. При k = 0, 1, 2 получим три значения корней:
,
,
. Учитывая, что
, получим
=
=
. Для вычисления
и
найдем
и
:
,
. Поэтому
,
.
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 480 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!