![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Для доказательства следующей теоремы понадобится метод математической индукции.
Метод математической индукции. Чтобы доказать, что некоторое утверждение верно для любого натурального числа п, начиная с некоторого п 0, достаточно доказать, что:
а) это утверждение верно для п = п 0;
б) если данное утверждение справедливо для некоторого натурального числа k ³ n o, то оно верно также и для следующего натурального числа k+ 1.
П р и м е р. Применяя метод математической индукции, доказать, что справедливо равенство
.
Решение: а) проверим, что это утверждение справедливо при :
, т. е. 1=1 - верно; б) пусть это утверждение справедливо для некоторого натурального
, т. е.
. Тогда при
имеем:
=
=
=
, т. е. утверждение верно и для
.
П р и м е р. Применяя метод математической индукции, доказать, что справедливо неравенство
.
Решение: а) проверим, что это утверждение справедливо при :
- верно; б) пусть это утверждение справедливо для некоторого натурального
, т. е.
. Тогда при
имеем:
=
, т. е. утверждение верно и для
.
Теорема. Произведение комплексных чисел , где
,
вычисляется по формуле
. (1.7)
Доказательство. Доказательство проведем, используя метод математической индукции. Очевидно, что при утверждение верно. Предположим, что оно верно и при
, т. е.
. Тогда при
имеем:
, т. е. утверждение верно и для
.
В частности, при перемножении n равных комплексных чисел с учетом формулы (1.7) получим:
. (1.8)
Если в формуле (1.8) положить , то получается знаменитая формула Муавра:
. (1.9)
Формула (1.8) получена в предположении, что n – целое положительное число. Покажем, что она остается верной при n = 0 и при целом отрицательном n, считая, что для комплексных чисел, как и для вещественных, ,
.
При n = 0 получаем верное равенство: =
. Положим теперь
, считая m целым положительным. Тогда
=
=
=
=
=
+
=
. Таким образом, формула Муавра оказывается верной при всех целых значениях n.
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 2567 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!