Показателем. Формула Муавра

Для доказательства следующей теоремы понадобится метод математической индукции.

Метод математической индукции. Чтобы доказать, что некоторое утверждение верно для любого натурального числа п, начиная с некоторого п ₀, достаточно доказать, что:

а) это утверждение верно для п = п ₀;

б) если данное утверждение справедливо для некоторого натурального числа k ³ n _o, то оно верно также и для следующего натурального числа k+ 1.

П р и м е р. Применяя метод математической индукции, доказать, что справедливо равенство .

Решение: а) проверим, что это утверждение справедливо при : , т. е. 1=1 - верно; б) пусть это утверждение справедливо для некоторого натурального , т. е. . Тогда при имеем: = = = , т. е. утверждение верно и для .

П р и м е р. Применяя метод математической индукции, доказать, что справедливо неравенство .

Решение: а) проверим, что это утверждение справедливо при : - верно; б) пусть это утверждение справедливо для некоторого натурального , т. е. . Тогда при имеем: = , т. е. утверждение верно и для .

Теорема. Произведение комплексных чисел , где , вычисляется по формуле

. (1.7)

Доказательство. Доказательство проведем, используя метод математической индукции. Очевидно, что при утверждение верно. Предположим, что оно верно и при , т. е. . Тогда при имеем:

, т. е. утверждение верно и для .

В частности, при перемножении n равных комплексных чисел с учетом формулы (1.7) получим:

. (1.8)

Если в формуле (1.8) положить , то получается знаменитая формула Муавра:

. (1.9)

Формула (1.8) получена в предположении, что n – целое положительное число. Покажем, что она остается верной при n = 0 и при целом отрицательном n, считая, что для комплексных чисел, как и для вещественных, , .

При n = 0 получаем верное равенство: = . Положим теперь , считая m целым положительным. Тогда = = = = = + = . Таким образом, формула Муавра оказывается верной при всех целых значениях n.