Числа. Действия над комплексными числами

Определение. Комплексным числом z называется упорядоченная пара вещественных чисел (х; у), т. е. z = (х; у). При этом х называется вещественной, а у – мнимой частью комплексного числа.

Комплексное число z = (х; у) изображается на плоскости Оху точкой М с координатами (х, у) или вектором , проекции которого на оси Ох и Оу соответственно равны х и у. Плоскость Оху называется условно комплексной плоскостью.

Комплексное число отождествляется с вещественным числом, т. е. . Поэтому множество вещественных чисел рассматривается как подмножество комплексных чисел. На комплексной плоскости вещественные числа изображаются точками на оси Ох, которая называется вещественной осью.

Комплексное число при называется мнимым. Мнимое число называется чисто мнимым и символически обозначается . Чисто мнимое число называется мнимой единицей и обозначается буквой , т. е. . Чисто мнимые числа изображаются точками на оси Оу, которая называется мнимой осью.

Два комплексных числа и называются равными, если равны их вещественные и мнимые части, т.е. , . Комплексное число называется нулем.

Над комплексными числами, как и над вещественными, определены действия сложения и умножения.

Определение. Суммой комплексных чисел и называется комплексное число , т. е. при сложении двух комплексных чисел складываются соответственно их вещественные и мнимые части.

Определение. Произведением чисел и называется комплексное число .

Вычитание комплексных чисел определяется как действие, обратное сложению.

Определение. Разностью комплексных чисел и называется комплексное число , которое в сумме с числом дает число , т. е. комплексное число является разностью комплексных чисел и .

Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное умножению.

Определение. Комплексное число называется частным двух комплексных чисел и , если .

Рассмотрим . Тогда . Из равенства комплексных чисел следует, что , _. Из двух последних уравнений следует, что .

Рассмотрим мнимую единицу i. По правилу умножения комплексных чисел ,т. е. .

Для любого комплексного числа выполняется равенство

. (1.3)

Запись называется алгебраической формой комплексного числа. Действия над комплексными числами можно производить по обычным правилам алгебры многочленов.

Определение. Число называется комплексно сопряженным числу и изображается на комплексной плоскости точкой, симметричной точке z относительно оси Ох.