Полярная система координат

Определение. Полярными координатами точки М называются двачисла r и j, первое из которых (полярный радиус r) равно расстоянию точки М от полюса О, а второе (полярный угол j) - угол, на который надо повернуть против часовой стрелки луч Ох до совмещения с лучом ОМ.

При этом предполагается, что точка М не совпадает с полюсом. Для полюса О полярный радиус r равен нулю, а полярный угол j не определен, т. е. ему можно присвоить любое значение.

Точку плоскости М с полярными координатами r и j обозначают символом М (r, j).

Для того чтобы соответствие между отличными от полюса точками плоскости и парами полярных координат (r, j) было взаимно однозначным, обычно считают, что 0 £ r < + ¥, 0 £ j < 2p. Однако в некоторых случаях приходится рассматривать углы, большие 2p, а также отрицательные углы, т. е. углы, отсчитываемые от полярной оси по часовой стрелке.

Установим связь между полярными и прямоугольными координатами одной и той же точки плоскости. Будем предполагать, что начало прямоугольной системы координат находится в полюсе, а положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью.

Пусть точка М имеет полярные координаты r и j и прямоугольные координаты х и у. Тогда

. (1.1)

Формулы (1.1) выражают прямоугольные координаты через полярные. Выражения полярных координат точки через прямоугольные следуют из формул (1.1):

. (1.2)

Вторая из этих формул определяет два значения полярного угла, так как j изменяется от 0 до 2p. Из этих двух значений выбирается то, при котором удовлетворяются равенства (1.1), т. е. нужно, используя знаки х и у, определить квадрант, в котором находится точка М. Когда х = 0, tg j не может быть вычислен по формулам (1.2). В этом случае (если у > 0) и (если у < 0).

Для простоты нахождения полярного угла j через прямоугольные координаты можно воспользоваться следующей таблицей: