Мгновенный центр скоростей. Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю

Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Докажем, что если угловая скорость плоской фигуры не равна нулю, то мгновенный центр скоростей существует. В случае равенства нулю угловой скорости тело совершает мгновенно-поступательное движение, при котором скорости всех точек равны между собой.

Берём произвольную точку А, скорость которой не равна нулю, иначе эта точка была бы мгновенным центром скоростей (М. Ц. С.). Под углом по направлению вращения фигуры откладываем отрезок АР, равный ,

и доказываем, что точка Р есть М.Ц.С., то есть согласно формуле (2.43), . (2.44)

Изображаем на рис. 2.27 векторы и , вектор направлен перпендикулярно к AP в сторону вращения.

Модуль скорости , и так как то .

Вектора направлены в противоположные стороны, а их модули равны, следовательно, сумма равна нулю, то есть ,точка Р есть мгновенный центр скоростей. Берём за полюс точку Р и находим скорость произвольной точки В: ,

ввиду того что , .

Из этой формулы следует, что скорости точек тела при плоском движении распределяются так же, как и при вращательном движении.

Здесь осью вращения является мгновенная ось, проходящая через мгновенный центр скоростей перпендикулярно плоскости фигуры.

Таким образом:

1) векторы скоростей перпендикулярны отрезкам, соединяющим эти точки с М.Ц.С. (), и направлены в сторону вращения;

2) модули скоростей пропорциональны расстояниям от точек до мгновенного центра скоростей: .

Зная положение М.Ц.С., можно найти скорости всех точек плоской фигуры, если известна скорость какой-либо её точки. Пусть, например, известна скорость точки А, а точка Р  М.Ц.С. По направлению вектора скорости определяем направление вращения фигуры (рис. 2.28). Затем определяем угловую скорость

Берём любую точку В и находим её скорость. Для определения направления вектора скорости соединяем точку В с М.Ц.С. (точкой Р) и восстанавливаем перпендикуляр к ВР в сторону вращения. Модуль вектора скорости равен или, используя имеем .

Аналогичным образом можно найти скорость любой точки фигуры. Соединив конец вектора с точкой Р, получаем эпюру распределения скоростей точек, расположенных на отрезке ВР. Используя свойства (1) и (2) мгновенного центра скоростей, можно определить его положение и в других случаях.

Первый случай, когда известны направления векторов скоростей двух точек – А и В (рис. 2.29). Для нахождения М.Ц.С. используем первое свойство, а именно восстанавливаем перпендикуляры в точках А и В к векторам и до их пересечения. Точка пересечения Р и есть М.Ц.С.

Второй случай: скорости и точек А и В параллельны и перпендикулярны к отрезку АВ. Для определения положения М.Ц.С. воспользуемся вторым свойством, для чего проведём прямую через концы векторов и до пересечения с прямой АВ. Точка пересечения и есть М.Ц.С. (рис. 2.30).

Третий случай: скорости , параллельны, но не перпендикулярны отрезку АВ. В этом случае прямые, перпендикулярные к и , пересекаются в бесконечности, и поэтому мгновенный центр скоростей не существует (рис. 2.31). В данный момент времени угловая скорость фигуры равна нулю (), а скорости всех точек одинаковы.

При качении без скольжения тела по неподвижной поверхности мгновенный центр скоростей совпадает с точкой соприкосновения (рис. 2.32), так как её скорость равна нулю.