Расчеты на прочность

Из трех возможных типов задач (см. параграф 4.2.6) рассмотрим пример проектного расчета.

Пример. Определить размеры поперечного сечения балки (см. рис. 4.42, а), если 160 МПа, = 80 МПа, М = 6 кН×м, q = 4 кН/м, h = 2 b, а = 1 м.

Решение. Заданы и . Принимаем, что стержень относится к категории длинных балок как наиболее распространенных в технике.

Тогда размеры сечения определим из условия прочности по нормальным напряжениям, а проверочный расчет сделаем по условию прочности для касательных напряжений.

Согласно условию прочности по нормальным напряжениям (4.86) для определения размеров сечения необходимо знать М расч, значение которого найдем из эпюры изгибающих моментов Мz (x).

Правильное построение эпюры Мz (x), с учетом зависимости (4.58), контролируется эпюрой поперечных сил Qy (x), которая также необходима для проверочного расчета по касательным напряжениям. Следовательно, решение данной задачи необходимо начать с построения эпюр Мz (x) и Qy (x).

Алгоритм и правила построения эпюр силовых факторов представлены в параграфах 4.2.1 и 4.5.1.

В соответствии с алгоритмом из условий равновесия определим опорные реакции:

;

[кН].

;

[кН].

Для проверки правильности значений найденных реакций используем еще одно условие равновесия: .

Условие выполняется, следовательно, реакции найдены правильно.

Балка имеет три силовых участка АВ; ВС; СD (см. рис. 4.42, a). Используя метод сечений, записываем для каждого участка аналитические выражения внутренних силовых факторов.

Участок АВ :

;

;

кН;

;

; кН × м.

Изгибающий момент на данном участке изменяется по закону квадратной параболы. В сечении А поперечная сила равна нулю, следовательно, эпюра моментов в этом сечении имеет экстремум.

Участок ВС . Начало координат в сечении В:

;

кН;

кН;

;

кН × м;

кН × м.

На данном участке изгибающий момент также изменяется по закону квадратной параболы. С целью определения положения экстремума эпюры моментов выражение для поперечной силы как первой производной функции моментов приравняем к нулю:

и найдем из этого уравнения координату экстремального значения момента: [м].Тогда экстремальное значение момента будет равно кН × м.

Участок DС . Начало координат выгоднее расположить в сечении D:

кН;

;

;

кН × м.

По полученным выражениям и значениям внутренних силовых факторов строим эпюры поперечных сил (см. рис. 4.42, б) и изгибающих моментов (см. рис. 4.42, в).

Так как балка по всей длине имеет постоянное поперечное сечение, то расчетное значение момента будет равно его максимальной величине на эпюре: М расч = М max= 4,5 кН×м.

Для прямоугольного сечения, согласно формуле (4.84),

или (для рассматриваемого случая) .

Из условия прочности (4.86) .

Тогда м.

Проверим выполнение условия прочности по касательным напряжениям (4.91) для полученного значения b: .

Здесь Qy  максимальное значение поперечной силы, взятое из эпюры (см. рис. 4.40, б).

Так как условие прочности выполняется, то значение b = 0,035 м является окончательным.