Касательные напряжения в поперечном сечении

В параграфе 4.5.3 было отмечено, что в поперечном сечении стержня при изгибе могут возникать не только нормальные, но и касательные напряжения, если в сечении присутствует поперечная (перерезывающая) сила.

Определим закон изменения касательных напряжений в сечении, рассмотрев поперечный изгиб.

Из балки (рис. 4.38, а) мысленно вырежем элемент длиной dx (рис. 4.39, а), в поперечных сечениях которого будут действовать: поперечные силы Qy; изгибающие моменты Mz и Mz + dMz.

Направления силовых факторов и напряжений приняты в соответствии со схемой нагружения.

Мысленно разделим данный элемент на две части продольным горизонтальным сечением, сделанным на расстоянии y от нейтрального слоя, и рассмотрим равновесие, например верхней части (см. рис. 4.39, б).

При этом примем ряд допущений:

· касательные напряжения в поперечном сечении направлены параллельно перерезывающей силе;

· с позиции равновесия выделенной части элемента (параграф 4.3 и рис. 4.15) касательные напряжения возникают также и в продольных сечениях (закон парности касательных напряжений), вызывая сдвиги волокон относительно друг друга;

· эти сдвиги приводят к искривлению поперечных сечений. Однако для длинных балок (длинной считается балка, у которой отношение ее длины к наибольшему размеру поперечного сечения больше пяти) сдвиги сравнительно невелики, и можно считать, что сечения остаются плоскими и после нагружения. Поэтому нормальные напряжения при поперечном изгибе тоже вычисляют по формуле (4.82);

· касательные напряжения в любой точке сечения, лежащей на одинаковом расстоянии от нейтральной линии Oz, равны между собой, то есть по ширине сечения напряжения не изменяются.

С учетом принятых допущений условие равновесия для верхней части выделенного элемента (см. рис. 4.38, а) будет иметь вид . (4.87)

Здесь  равнодействующая элементарных нормальных сил в левом сечении, распределенных на площади : ,

где часть площади поперечного сечения, лежащей выше уровня y; y 1  текущая координата элементарной площадки dA (см. рис. 4.40, б).

Учитывая, что интеграл представляет собой статический момент площади относительно оси Oz, запишем: . (4.88)

Равнодействующая элементарных нормальных сил в правом сечении будет равна . (4.89)

Подставляя выражения (4.88) и (4.89) в условие равновесия (4.87), с учетом зависимости (4.58), получаем . (4.90)

Здесь  статический момент части площади поперечного сечения, лежащей в направлении от нейтральной линии за уровнем y, на котором определяется касательное напряжение ; b  ширина поперечного сечения на уровне y. Парные касательные напряжения в продольных сечениях стержня равны напряжениям в поперечных сечениях на одном и том же уровне y.

Для прямоугольного поперечного сечения статический момент площади, расположенной за уровнем y, и осевой момент инерции всего сечения равны соответственно ; .

Тогда распределение касательных напряжений по высоте поперечного сечения будет соответствовать параболическому закону (рис. 4.41).

Максимальные касательные напряжения будут действовать на нейтральной линии (при y = 0): .

Условие прочности для касательных напряжений будет иметь вид , (4.91)

где  допускаемое касательное напряжение для конкретного материала стержня.

В расчетах на прочность касательные напряжения учитываются только для коротких балок, так как в длинных балках нормальные напряжения в поперечных сечениях значительно больше касательных.