Правило вычисления смешанного произведения

.

Для смешанного произведения имеет место равенство

,

которое позволяет записывать правило произведения трех векторов , и не указывая при этом, какие из двух векторов перемножаются векторно. При этом

.

В силу приведенного выше равенства справедливо соотношение

,

согласно которому при циклических перестановках векторов смешанное произведение не меняется, а при перестановке двух векторов оно изменяет знак на противоположный.

Отметим, что необходимым и достаточным условием компланарности векторов , и является равенство нулю их смешанного произведения:

, и – компланарны.

Правило раскрытия двойного векторного произведения:

.

Двойное векторное произведение равно разности произведения среднего вектора на скалярное произведение остальных векторов и произведения другого вектора в скобках на скалярное произведение остальных векторов.

Задачи к теме 7

7.1. Представить заданный данный вектор в виде разложения произвольного вектора по трем заданным некомпланарным векторам , и .

7.2. Упростить выражение

.

7.3(204*). Определить вектор по заданным скалярным произведениям , и .

7.4. Найти компонент вектора ортогональный вектору .

7.5(201*). Доказать тождества:

1) ; 2) .

7.6(202*). Доказать тождества:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

7.7(203*). Найти необходимое и достаточное условие для того, чтобы выполнялось равенство

.

7.8(205*). 1) Найти необходимое и достаточное условие для того, чтобы уравнение , где , имело решение.

2) Найти общее решение этого уравнения.

7.9(206*). Даны три некомпланарных вектора , , , отложенных от точки O. Найти вектор , где H – ортогональная проекция точки O на плоскость ABC.

7.10(209*). Найти вектор х из системы уравнений , , где , .

7.11(210*). Решить относительно х систему уравнений , , причем , , , .

7.12(211*). Найти векторы и из системы уравнений: , , . Дано, что , , .