Тема 5. Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов 1. Определение. . 2. Основные свойства. 1. Коммутативность (переместительное свойство): . 2. Ассоциативность (сочетательное свойство): . 3. Положительная (неотрицательная) определенность: , причем . 4. Дистрибутивность (распределительное свойство): . 3. Частные значения. 1. , если и . 2. – острый угол. 3. – тупой угол. 4. или . 4. Скалярное произведение в декартовой системе координат. Координаты вектора . Скалярное произведение . Длина вектора . Расстояние между точками . Угол между векторами . Направляющие косинусы . Проекция одного вектора на другой .

Задачи к теме 5

Во всех задачах этой темы система координат – прямоугольная.

5.1(131). Дан равносторонний треугольник ABC, длины сторон которого равны 1. Вычислить выражение

.

5.2(132). В треугольнике ABC даны длины его сторон , , . Найти скалярное произведение векторов и .

5.3(133). В треугольнике ABC проведены медианы AD, BE и CF. Вычислить .

5.4(136*). Найти сумму векторов, являющихся ортогональными проекциями вектора а на стороны равностороннего треугольника ABC.

5.5(142*). Даны два неколлинеарных вектора а и b. Найти вектор х, компланарный векторам a и b и удовлетворяющий системе уравнений , .

5.6(145а). Представить вектор в виде суммы двух векторов, один из которых параллелен заданному ненулевому вектору , а другой перпендикулярен.

5.7(147). К вершине куба приложены три силы, равные по величине 1, 2, 3 и направленные по диагоналям граней куба, выходящим из этой вершины. Найти величину равнодействующей этих трех сил и углы, образуемые ею с составляющими силами.

5.8(148). Найти вектор, являющийся ортогональной проекцией вектора (–14, 2, 5) на прямую с направляющим вектором (2, –2, 1).

5.9(149). Найти вектор, являющийся ортогональной проекцией вектора (8, 4, 1) на плоскость, перпендикулярную к вектору (2, –2, 1).

5.10(151*). Даны два вектора: а = (8, 4, 1), b = (2, –2, 1). Найти вектор с, компланарный векторам а и b, перпендикулярный к вектору а, равный ему по длине и образующий с вектором b тупой угол.

5.11(152). Определить внутренние углы треугольника с вершинами A = (1, 2, 3), B = (3, 0, 4), С = (2, –1, 3).

5.12(165). Даны две соседние вершины квадрата A = (–3, 2) и В = (2, 4). Найти две другие вершины.

5.13(166). Даны две противоположные вершины квадрата A = (3, 2),
В = (5, –4). Найти две другие его вершины C и D.