Тема 9. Основные уравнения прямой на плоскости

Рис. 9.1. Параметры прямой линии на плоскости

Таблица 9.1. Уравнения прямой на плоскости

N	Название	Уравнение
1.	Общее уравнение
2.	Нормальное
3.	В отрезках
4.	С угловым коэффициентом
5.	Каноническое
6.	Через две точки
7.	Параметрическое в координатах
8.	Параметрическое через две точки
9.	Векторное параметрическое
10.	Векторное параметрическое через две точки
11.	Векторное

Задачи к теме 9

9.1(367). Дан треугольник ABC: A = (–2, 3), В = (4, 1), С = (6, –5). Написать уравнение медианы этого треугольника, проведенной из вершины А. Система координат аффинная.

9.2(368). Дан треугольник ABC: А = (4, 4), В = (–6, –1), С = (–2, –4). Написать уравнение биссектрисы внутреннего угла треугольника при вершине С. Система координат прямоугольная.

9.3(370). Через точку (2, –1) провести прямую, отрезок которой, заключенный между осями координат, делился бы в данной точке пополам. Система координат аффинная.

9.4(377*). Даны уравнения двух сторон треугольника , и уравнение одной из его медиан. Составить уравнение третьей стороны треугольника, зная, что на ней лежит точка (3, 9), и найти координаты его вершин. Система координат аффинная.

9.5(398). Найти взаимное расположение трех прямых в каждом из следующих случаев:

1) х + 2 у + 3 = 0, 2 x + 3 у + 5 = 0, х – у + 7 = 0;

2) 2 x + 5 у – 4 = 0, 7 х + у – 20 = 0, 3 х + 2 у – 8 = 0;

3) х – у – 2 = 0, 3 x + 5 у + 4 = 0, 6 x – 6 у + 1 = 0;

4) 2 х + 3 у – 1 = 0, 4 x + 6 y + 5 = 0, 10 x + 15 у – 7 = 0.

Система координат аффинная.

9.6(405). Две параллельные прямые 2 х – 5 у + 6 = 0 и 2 х – 5 y – 7 = 0 делят плоскость на три области: полосу, заключенную между этими прямыми, и две области вне этой полосы. Установить, каким областям принадлежат точки А = (2, 1), В = (3, 2), С = (1, 1), D = (2, 8), E = (7, 1), F = (–4, 6). Система координат аффинная.

Справочный материал

Нормаль к прямой

.

Возможные выражения для направляющего вектора:

, и т.п.

Отрезки, отсекаемые на осях:

, .

Угловой коэффициент:

.

Абсолютное значение величины

определяет расстояние от точки до прямой, а ее знак – их взаимное расположение.

Рис. 9.2. Нормальное уравнение прямой

9.7(406). Даны две точки А = (–3, 1) и В = (5, 4) и прямая х – 2 у + 1 = 0. Установить, пересекает ли данная прямая отрезок или его продолжение за точку А или за точку В. Система координат аффинная.

9.8(412*). Стороны треугольника ABC заданы уравнениями
2 х – у + 2 = 0 (АВ), х + у – 4 = 0 (ВС), 2 х + у = 0 (СА). Определить положение точек М = (3, 1), N = (7, –6), Р = (3, 2) относительно данного треугольника. Система координат аффинная.

Во всех последующих задачах этой темы система координат предполагается прямоугольной.

9.9(416). Даны вершины треугольника А = (4, 6), В = (–4, 0) и
С = (–1, –4). Составить уравнение высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС.

9.10(423). Найти проекцию точки (–5, 6) на прямую 7 х – 13 у – 105 = 0.

9.11(431*). Найти внутренние углы треугольника, стороны которого заданы уравнениями 3 x – y + 6 = 0, x – у + 4 = 0, x + 2 у = 0.

9.12(435). Основанием равнобедренного треугольника служит прямая
2 х + 3 у = 0, а боковой стороной – прямая 5 х – 12 у = 0. Написать уравнение другой боковой стороны треугольника, зная, что она проходит через точку (2, 6).

9.13(450). Составить уравнения прямых, параллельных прямой
5x + 12у – 1 = 0 и отстоящих от нее на расстояние 5.

9.14(461). Даны две прямые 3 x + 4 у – 2 = 0, 5 х – 12 у – 4 = 0 и точка (1, 1). Внутри угла, образованного данными прямыми и содержащего данную точку, найти такую точку, чтобы ее расстояния до данных прямых были равны соответственно 3 и 1.

9.15(467*). Составить уравнения биссектрис внутренних углов треугольника, стороны которого заданы уравнениями

3 x – 4 y = 0, 4 x – 3 у = 0, 5 х + 12 у – 10 = 0.