Тема 6. Векторное и смешанное произведение. Ориентации пространства

Векторным произведением векторов и называется вектор , определенный следующим образом:

а) вектор перпендикулярен и вектору и вектору ;

б) длина вектора равна произведению длин векторов-сомножителей на синус угла между этими векторами;

в) тройка векторов , и является правой;

г) если и (или) , то .

Вкратце определение векторного произведения не равных нулю векторов записывается так:

а) б)

Рис. 6.1. Векторное произведение векторов.

а) Определение векторного произведения .

б) Векторное произведение ортов декартового базиса

Правила раскрытия определителей

Двумерный определитель

.

Трехмерный определитель

.

Правило 1. Раскрытие по строке (по столбцу)

Правило 2

Правило 3

Правило 4

.

Задачи к теме 6

Во всех задачах этой темы система координат – прямоугольная.

6.1(176). Даны два вектора а = (1, 1, 1) и b = (1, 0, 0). Найти вектор с длины 1, перпендикулярный к вектору а, образующий с вектором b угол и направленный так, чтобы упорядоченная тройка векторов а, b, с имела положительную ориентацию.

6.2(178). Даны три вектора: а = (8, 4, 1), b = (2, –2, 1), с = (1, 1, 1). Найти вектор d длины 1, компланарный векторам а и b, перпендикулярный к вектору с и направленный так, чтобы упорядоченные тройки векторов а, b, с и а, d, с имели противоположную ориентацию.

6.3(189). Вычислить площадь треугольника, вершины которого находятся в точках A = (– 1, 0, –1), В = (0, 2, –3), С = (4, 4, 1).

6.4(190). Вычислить объем параллелепипеда ABCDA'В'C'D', зная его вершину А = (1, 2, 3) и концы выходящих из нее ребер В = (9, 6, 4), С = (3, 0, 4), A' = (5, 2, 6).

6.5(192*). Три вектора а, b, с связаны соотношениями , , . Найти длины этих векторов и углы между ними.

6.6(193*). Доказать, что если три вектора , , не коллинеарны, то из равенства вытекает соотношение и обратно.

6.7(195*). Доказать, что если векторы , , компланарны, то они коллинеарны.

6.8(196*). Из одной точки проведены три некомпланарных вектора , , . Доказать, что плоскость, проходящая через концы этих векторов, перпендикулярна к вектору .

Основные свойства векторного произведения 1. Антикоммутативность (переместительное свойство): . 2. Ассоциативность (сочетательное свойство): . 3. Дистрибутивность (распределительное свойство): . 4. Параллельность векторов и векторное произведение . 5. Площадь параллелограмма и модуль векторного произведения . Векторное произведение в декартовом базисе ,   . Запись с помощью символа Леви-Чивита. .     Запись с использованием определителей второго порядка: ,   . Запись с помощью определителя третьего порядка: .

6.9(198*). Даны три некомпланарных вектора а = (х ₁, у ₁, z ₁), b = (x ₂, у ₂, z ₂), n = (А, В, С). Найти площадь параллелограмма, являющегося ортогональной проекцией на плоскость, перпендикулярную к вектору n, параллелограмма, построенного на векторах а и b.

6.10(200*). Доказать, что сумма векторов, перпендикулярных к граням тетраэдра, равных по абсолютной величине площадям этих граней и направленных в строну вершин, противолежащих граням, равна нулю.

6.11(207*). Доказать, что площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b равна

.

Справочный материал